Giải SGK Bài 2: Công thức lượng giác – KNTT

Giải SGK Bài 2: Công thức lượng giác – KNTT

==============

Bài 1.7 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng \({15^0} = {45^0} – {30^0}\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \({15^0}\).

Sử dụng công thức:

\(\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

\(\sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b – \cos a\sin b\)

\(\tan \left( {a – b} \right) = \frac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)

\(\cot \left( {a – b} \right) = \frac{{1 + \tan a\tan b}}{{\tan a – \tan b}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\cos {15^0} = \cos \left( {{{45}^0} – {{30}^0}} \right) = \cos {45^0}\cos {30^0} + \sin {45^0}\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\)

\(\sin {15^0} = \sin \left( {{{45}^0} – {{30}^0}} \right) = \sin {45^0}\cos {30^0} – \cos {45^0}\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}\)

\(\tan {15^0} = \tan \left( {{{45}^0} – {{30}^0}} \right) = \frac{{\tan {{45}^0} – \tan {{30}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0}\tan {{30}^0}}} = \frac{{1 – \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = 2 – \sqrt 3 \)

\(\cot {15^0} = \frac{1}{{\tan {{15}^0}}} = \frac{1}{{2 – \sqrt 3 }}\)

Bài 1.8 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tính:

a) \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\), biết \(\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);

b) \(\tan \left( {a – \frac{\pi }{4}} \right)\), biết \(\cos a =  – \frac{1}{3}\) và \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\).

– Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp

– Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \(\cos a = \sqrt {1 – {{\sin }^2}a}  = \sqrt {1 – \frac{1}{3}}  =  – \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{6} – \sin a\sin \frac{\pi }{6} =  – \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} =  – \frac{{\sqrt 3  + 3\sqrt 2 }}{6}\)

b) Vì \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin a < 0\). Do đó \(\sin a = \sqrt {1 – {{\cos }^2}a}  = \sqrt {1 – \frac{1}{9}}  =  – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Suy ra \(\tan a\; = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{ – \frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \)

Ta có: \(\tan \left( {a – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a – \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} – 1}}{{1 + \frac{{\sin a}}{{\cos a}}}} = \frac{{2\sqrt 2  – 1}}{{1 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{9 – 4\sqrt 2 }}{7}\)

Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết:

a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);

b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).

– Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp

– Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \(\cos a = \sqrt {1 – {{\sin }^2}a}  = \sqrt {1 – \frac{1}{9}}  =  – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} =  – \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  – \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)

\(\cos 2a = 1 – 2{\sin ^2}a = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 – {{\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} =  – \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\)

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\sin a > 0,\cos a < 0\)

\({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)

Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} – 1 =  – \frac{3}{4}\)

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} – {{\cos }^2}a} \right) + {\cos ^2}a – 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} – \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a – 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a – \cos a – \frac{3}{4} = 0\)

\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{4}\) (Vì \(\cos a < 0)\)

\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a – 1 = 2.{\left( {\frac{{1 – \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} – 1 =  – \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ – \frac{3}{4}}}{{ – \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\)

Bài 1.10 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} – \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\);                                b) \(B = \sin \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}\).

Sử dụng công thức cộng \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Công thức nhân đôi \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Lời giải chi tiết

a) \(A = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} – \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 1\)

b) \(B = \sin \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{{16}}.\cos \frac{\pi }{{16}}.\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{8}\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{8}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{16}}\;.\)

Bài 1.11 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh đẳng thức sau:

\(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a – b} \right) = {\sin ^2}a – {\sin ^2}b = {\cos ^2}b – {\cos ^2}a\)

Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

\(\sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b – \cos a\sin b\;\)

Và \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a – b} \right) = \left( {\sin a\cos b + \cos a\sin b} \right).\left( {\sin a\cos b – \cos a\sin b} \right)\)

\( = {\left( {\sin a\cos b} \right)^2} – {\left( {\cos a\sin b} \right)^2} = {\sin ^2}a\left( {1 – {{\sin }^2}b} \right) – \left( {1 – {{\sin }^2}a} \right){\sin ^2}b\)

\({\sin ^2}a – {\sin ^2}b = {\cos ^2}b\left( {1 – {{\cos }^2}a} \right) – {\cos ^2}a\left( {1 – {{\cos }^2}b} \right) = {\cos ^2}b – {\cos ^2}a\;\) (đpcm)

Bài 1.12 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\hat B = {75^0};\hat C = {45^0}\) và \(a = BC = 12\;cm\).

a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(ABC\;\)cho bởi công thức \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\)

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Sử dụng công thức: \(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết

a) Theo định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \to b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\)

Ta có:

b) Ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow \hat A = {180^0} – {75^0} – {45^0} = {60^0}\)

\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} = \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} – \cos {{90}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}} = \frac{{72.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt 3 }} = 36\)

Bài 1.13 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),\;\)trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và \(\varphi  \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

         \({x_1}\left( t \right) = 2.\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\)

          \({x_2}\left( t \right) = 2.\cos \left( {\frac{\pi }{3}t – \frac{\pi }{3}} \right)\left( {cm} \right)\)

Tìm dao động tổng hợp \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Cộng 2 vế ta được công thức dao động tổng hợp

Sử dụng cộng thức biến đổi tổng thành tích

Lời giải chi tiết

Ta có: \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right) = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3}t – \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\)

          \(2\left[ {\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}t – \frac{\pi }{3}}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6} – \frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right)} \right] = 2\left[2. {\cos \left( {\frac{\pi }{3}t – \frac{\pi }{{12}}} \right).\cos \frac{\pi }{4}} \right] = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t – \frac{\pi }{{12}}} \right)\)

Vậy biên độ là \(2\sqrt 2 \), pha ban đầu \( – \frac{\pi }{{12}}\)