Giải SGK Bài 3. Hàm số lượng giác Toán 11 – KNTT

Giải SGK Bài 3. Hàm số lượng giác Toán 11 – KNTT
=============

Bài 1.14 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 – \cos x}}{{\sin x}}\);

b) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{2 – \cos x}}} .\)

Hàm số xác định khi  biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0

Lời giải chi tiết

a) Biểu thức \(\frac{{1 – \cos x}}{{\sin x}}\) có nghĩa khi \(\sin x \ne 0\), tức là \(x \ne k\pi \;\left( {k\; \in \;\mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}/{\rm{\{ }}k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}\} \;\)

b) Biểu thức \(\sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{2 – \cos x}}} \) có nghĩa khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{! + \cos x}}{{2 – \cos x}} \ge 0}\\{2 – \cos x \ne 0}\end{array}} \right.\)

Vì \( – 1 \le \cos x \le 1 ,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Bài 1.15 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT

Đề bài

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = \sin 2x + \tan 2x\);                    b) \(y = \cos x + {\sin ^2}x\);

c) \(y = \sin x\cos 2x\);                          d) \(y = \sin x + \cos x\).

Sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = \sin 2x + \tan 2x\) có nghĩa khi \(tan 2x\) có nghĩa

\(\cos 2x \ne 0\;\; \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)  \

Vây tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\)

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – 2x} \right) + \tan \left( { – 2x} \right) =  – \sin 2x – \tan 2x =  – \left( {\sin 2x + \tan 2x} \right) =  – f\left( x \right),\;\forall x \in D\).

Vậy \(y = \sin 2x + \tan 2x\) là hàm số lẻ

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \cos \left( { – x} \right) + {\sin ^2}\left( { – x} \right) = \cos x + {\sin ^2}x = f\left( x \right),\;\forall x \in D\)

Vậy \(y = \cos x + {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn

c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right)\cos \left( { – 2x} \right) =  – \sin x.\cos 2x =  – f\left( x \right),\;\forall x \in D\)

Vậy \(y = \sin x\cos \;2x\) là hàm số lẻ

d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right) + \cos \left( { – x} \right) =  – \sin x + \cos x \ne f\left( x \right),\;\forall x \in D\)

Vậy \(y = \sin x + \cos x\) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ

Bài 1.16 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT

Bài 1.17 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT

Bài 1.18 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT

Đề bài

Giả sử khi một cơn sóng biến đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\), trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimet trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Sử dụng công thức chu kỳ sóng, chiều cao của sóng

Lời giải chi tiết

a) Chu kỳ của sóng \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{10}}}} = 20\;\left( s \right)\)

b) Vì \( – 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) \le 1\;\;\;\;\; \Rightarrow  – 90 \le 90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) \le 90\)

Vậy chiều cao của sóng theo phương thẳng đứng là: \(90 + 90 = 180\;\left( {cm} \right)\)