Giải SBT Bài 3: Phương trình đường elip – Chương 3 – Hình học 10

Bài 3.28 trang 159

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12;0) và điển (13;0) nằm trên elip.

Đáp án

a) \((E):{{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\)

b) \((E):{{{x^2}} \over {169}} + {{{y^2}} \over {25}} = 1\)

Bài 3.29 trang 159 SBT hình 10

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:

a) \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\)

b) \({x^2} + 4{y^2} = 4\)

HD giải

a) \((E):{{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

– Hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { – \sqrt 5 ;0} \right)\), \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\).

– Bốn đỉnh: \({A_1}\left( { – 3;0} \right)\), \({A_2}\left( {3;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; – 2} \right)\), \({B_2}\left( {0;2} \right)\).

– Trục lớn: \({A_1}{A_2} = 6\)

– Trục nhỏ: \({B_1}{B_2} = 4\)

b) \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

– Hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { – \sqrt 3 ;0} \right)\),  \({F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\)

– Bốn đỉnh: \({A_1}\left( { – 2;0} \right)\), \({A_2}\left( {2;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; – 1} \right)\), \({B_2}\left( {0;1} \right)\)

– Trục lớn:\({A_1}{A_2} = 4\)

– Trục nhỏ: \({B_1}{B_2} = 2\)

Bài 3.30 trang 159

Cho đường tròn tâm C \(\left( {{F_1};2a} \right)\) cố định và một điểm \({F_2}\) cố định nằm trong (C 1).

Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua \({F_2}\) và (C)  luôn tiếp xúc với (C 1). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

Bài giải

C  (M;R) đi qua \({F_2} \Rightarrow M{F_2} = R\,\,(1)\)

C  (M;R) tiếp xúc với  C1  \(\left( {{F_1};2a} \right) \Rightarrow M{F_1} = 2a – R\)  (2)

 (1) + (2) cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)

Vậy M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\), \({F_2}\)và trục lớn 2a.

Bài 3.31 Toán hình 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y) di động có tọa độ thỏa mãn

\(\left\{ \matrix{
x = 7\cos t \hfill \cr
y = 5\sin t \hfill \cr} \right.\)

trong đó t là tham số. Hãy chững tỏ M đi động trên một elip.

Gợi ý làm bài 

Điểm M di động trên elip (E) có phương \({{{x^2}} \over {49}} + {{{y^2}} \over {25}} = 1.\)

Bài 3.32 trang 160 Sách bài tập Toán Hình 10

Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \({c \over a}\) bằng \({5 \over {13}}\);

b) Tiêu điểm \({F_1}( – 6;0)\) và tỉ số \({c \over a}\) bằng \({2 \over 3}\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có : \(2a = 26 \Rightarrow a = 13\) và:

\({c \over a} = {c \over {36}} = {5 \over {13}} \Rightarrow c = 5\)

Do đó: \({b^2} = {a^2} – {c^2} = 169 – 25 = 144\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\({{{x^2}} \over {169}} + {{{y^2}} \over {144}} = 1\)

b) Elip có tiêu điểm \({F_1}\left( { – 6;0} \right)\) suy ra c = 6.

Vậy : \({c \over a} = {6 \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow a = 9\)

Do đó: \({b^2} = {a^2} – {c^2} = 81 – 36 = 45\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là

\({{{x^2}} \over {81}} + {{{y^2}} \over {45}} = 1\)

Bài 3.33 trang 160

Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết:

a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\);

b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M.

Đáp án

a) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

(E) đi qua \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:

\(\left\{ \matrix{
{{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr
{9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = 25 \hfill \cr
{b^2} = 9. \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình của (E) là : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

b) xét elip (E) : \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Vì \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \({9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)\)

Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\)

\( \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5\)

và: \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\)

Thay vào (1) ta được :

\(\eqalign{
& {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr} \)

\( \Leftrightarrow {b^4} = 14\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = 4\)

Suy ra \({a^2} = 9\)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là

\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Bài 3.34 trang 160 SBT Toán 10

Cho elip (E) : \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\)

a) Tìm tọa độ hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) và các đỉnh của (E).

b) Tìm \(M \in (E)\) sao cho M nhìn \({F_1}\), \({F_2}\) dưới một góc vuông.

Gợi ý làm bài

(E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

a) Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9\)

\(\Rightarrow a = 5,b = 3\)

Ta có : \({c^2} = {a^2} – {b^2} = 16\)

\( \Rightarrow c = 4\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : \({F_1}\left( { – 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và có bốn đỉnh là \({A_1}\left( { – 5;0} \right)\), \({A_2}\left( {5;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; – 3} \right)\), \({B_2}\left( {0;3} \right)\).

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có :

\(\left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr
\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr
O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{
9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \pm {{5\sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr
y = \pm {9 \over 4}. \hfill \cr} \right.\)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là :

\(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4}; – {9 \over 4}} \right)\), \(\left( { – {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( { – {{5\sqrt 7 } \over 4}; – {9 \over 4}} \right)\)

Bài 3.35 SBT Toán hình 10

Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \({c \over a}\) trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Bài giải

a) Ta có : \(a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} – {c^2}} \right)\)

\( \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\)

\( \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \({c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

b) \(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow b = c\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} – {c^2} = {c^2}\)

\(\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\)

\( \Rightarrow a = c\sqrt 2 \)

Vậy \({c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

c) \({A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {a^2} – {c^2} = 4{c^2}\)

\(\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\)

\(\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\)

Vậy \({c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}} \)

Bài 3.36 trang 160 Sách bài tập Toán 10

Cho elip (E) : \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Đáp án

(E): \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\,(1)\)

Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của

d:y – 1 = k(x – 1) hay y = k(x – 1) + 1 (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(4x + 9{\left[ {k(x – 1) + 1} \right]^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 – k} \right)x + 9{\left( {1 – k} \right)^2} – 36 = 0\,(3)\)

Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn

MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm \({x_A}\), \({x_B}\) sao cho:

\({{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {x_M} \Leftrightarrow {{ – 18k(1 – k)} \over {2(9{k^2} + 4)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 18{k^2} – 18k = 18{k^2} + 8 \Leftrightarrow k =  – {4 \over 9}\)

Vậy phương trình của d là :

\(y =  – {4 \over 9}\left( {x – 1} \right) + 1\) hay 4x + 9y – 13 = 0.