Giải SBT Bài 2: Phương trình đường tròn – Chương 3 – Hình học 10

Bài 3.15 trang 150

Trong mặt phẳng Oxy,hãy lập phương trình đường tròn (C)  có tâm là điểm (2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau:

a) ( C )  có bán kính là 5 ;

b) ( C )  đi qua gốc tọa độ ;

c) ( C )  tiếp xúc với trục Ox;

d) ( C )  tiếp xúc với trục Oy;

e) ( C )  tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :4x + 3y – 12 = 0\).

Trả lời

a) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 25\);

b) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 13\);

c) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 9\);

d) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 4\);

e) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 1\).

Bài 3.16 trang 150

Cho ba điểm A(1;4), B(-7;4), C(2;-5).

a) Lập phương trình đường tròn (C)  ngoại tiếp tam giác ABC ;

b) Tìm tâm và bán kính của (C).

Bài giải

a) Phương trình của ( C )  có dạng \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\). Ta có:

\(A,B,C \in \) ( C )

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2a – 8b + c = – 17 \hfill \cr
14a – 8b + c = – 65 \hfill \cr
– 4a + 10b + c = – 29 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 3 \hfill \cr
b = – 1 \hfill \cr
c = – 31 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình của ( C ) là: \({x^2} + {y^2} + 6x + 2y – 31 = 0\)

b) ( C ) có tâm là điểm (-3;-1) và có bán kính bằng \(\sqrt {{a^2} + {b^2} – c}  = \sqrt {41} \)

Bài 3.17 trang 151 SBT Hình 10

Cho đường tròn tâm (C)  đi qua hai điểm A(-1;2), B(-2;3) và có tâm ở trên đường thẳng \(\Delta :3x – y + 10 = 0\)

a) Tìm tọa độ tâm của (C);

b) Tính bán kính R của (C);

b)Viết phương trình của (C);

Bài giải

Gọi I(a;b) là tâm của ( C ) ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr
I \in \Delta \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b – 3} \right)^2} \hfill \cr
3a – b + 10 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a – 2b = – 8 \hfill \cr
3a – b = – 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 3 \hfill \cr
b = 1. \hfill \cr} \right.\)

Vậy ( C ) có tâm I (-3 ; 1).

b) \(R = IA = \sqrt {{{\left( { – 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 – 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

c) Phương trình của ( C )  là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 5\)

Bài 3.18 trang 151

Cho ba đường thẳng: \({\Delta _1}:3x + 4y – 1 = 0\)

\({\Delta _2}:4x + 3y – 8 = 0\)

d:2x + y – 1 = 0

a) Lập phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ( C ) biết rằng I nằm trên d và ( C ) tiếp xúc với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)

c) Viết phương trình của ( C )

HD giải

a) x – y – 7 = 0 (d) hay \(x + y – {9 \over 7} = 0\) (d’)

b) \({I_1}\left( {{8 \over 3}; – {{13} \over 3}} \right)\), \({I_2}\left( { – {2 \over 7};{{11} \over 7}} \right)\)

c) ( C1 ) : \({\left( {x – {8 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + {{13} \over 3}} \right)^2} = {\left( {{{31} \over {15}}} \right)^2}\)

   ( C2 ) : \({\left( {x + {2 \over 7}} \right)^2} + {\left( {y – {{11} \over 7}} \right)^2} = {\left( {{{31} \over {35}}} \right)^2}\)

Bài 3.19 – Toán hình 10

Lập phương trình của đường tròn (C)  đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng \({\Delta _1}:3x + 4y – 1 = 0\)

Gợi ý làm bài

( C1 ) : \({x^2} + {y^2} – 8x – 2y + 7 = 0\)

 ( C2 ) : \({x^2} + {y^2} – 3x – 7y + 12 = 0\)

Bài 3.20

Lập phương trình đường tròn bán kính AB trong các trường hợp sau:

a) A có tọa độ (-1;1), B có tọa độ (5;3) ;

b) A có tọa độ (-1;-2), B có tọa độ (2;1).

Bài làm

a) \({x^2} + {y^2} – 4x – 4y – 2 = 0\)

b) \({x^2} + {y^2} – x + y – 4 = 0\)

Bài 3.21 trang 151 SBT Toán Hình 10

Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua M(4;2).

HD giải:  Phương trình của ( C ) có dạng \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – a} \right)^2} = {a^2}\), ta có:

\(M \in \) ( C ) \( \Leftrightarrow {\left( {4 – a} \right)^2} + {\left( {2 – a} \right)^2} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} – 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
a = 10 \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài là:

\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4\) và \({\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 10} \right)^2} = 100\)

Bài 3.22 trang 151 Toán hình 10

Cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} – x – 7y = 0\) và đường thẳng d: 3x + 4y – 3 = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và d.

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.

c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.

Bài giải:

a) \({M_1}\left( {1;0} \right)\), \({M_2}\left( { – 3;3} \right)\)

b) \({\Delta _1}:x – 7y – 1 = 0\); \({\Delta _2}:7x + y + 18 = 0\)

c) \(A\left( { – {5 \over 2}; – {1 \over 2}} \right)\)

Bài 3.23 trang 151

Cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm A(1;3).

a) Chứng tỏ rằng điểm A nằm ngoài đường tròn (C) .

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C)  xuất phát từ điểm A.

Đáp án

a) ( C ) có tâm I (3;-1) và có bán kính R = 2, ta có:

\(IA = \sqrt {{{\left( {3 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1 – 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)

và IA > R, vậy A nằm ngoài ( C ).

b) \({\Delta _1}:3x + 4y – 15 = 0\); \({\Delta _2}:x – 1 = 0\).

Bài 3.24 trang 152 Toán hình 10

Lập phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 2y = 0\) biết rằng vuông góc với đường thẳng d:3x – y + 4 = 0

Trả lời:

\(\Delta\) vuông góc với d nên phương trình \(\Delta\) có dạng: x + 3y + c = 0

( C ) có tâm I(3;-1) và có bán kính \(R = \sqrt {10} \). Ta có:

\(\Delta\) tiếp xúc với ( C ) :

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow {{\left| {3 – 3 + c} \right|} \over {\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \cr
& \Leftrightarrow c = \pm 10. \cr} \)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là:

\({\Delta _1}:x + 3y + 10 = 0\) và \({\Delta _2}:x + 3y – 10 = 0\)

Bài 3.25 trang 152 SBT Toán hình 10

Cho đường tròn (C) : \({(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9\) và điểm M(2;-1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C), hãy viết phương trình của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

b) Gọi \({M_1}\) và \({M_2}\) lần lượt là hai tiếp điểm của  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\)

Gợi ý làm bài

a) ( C ) có tâm I(-1;2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng  đi qua M(2;-1) và có hệ số góc k có phương trình:

\(y + 1 = k\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow kx – y – 2k – 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với ( C )  \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| { – k – 2 – 2k – 1} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3\)

\(\Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\(\Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _1}:y + 1 = 0.\)

Xét đường thẳng \({\Delta _2}\) đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, \({\Delta _2}\) có phương trình x – 2 = 0. Ta có:

\(d\left( {I;{\Delta _2}} \right) = \left| { – 1 – 2} \right| = 3 = R\)

Suy ra \({\Delta _2}\) tiếp xúc với ( C ) .

Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với  ( C ), đó là:

\({\Delta _1}:y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x – 2 = 0\)

b) \({\Delta _1}\) tiếp xúc với ( C )  tại \({M_1}\left( { – 1; – 1} \right)\)

\({\Delta _2}\) tiếp xúc với ( C )  tại \({M_2}\left( {2;2} \right)\)

Phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\) là: x – y = 0.

Bài 3.26 trang 152

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} – 8x – 6y = 0\) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ O.

Lời giải

Đường tròn ( C ) :\({x^2} + {y^2} – 8x – 6y = 0\) có tâm I(4;3) và bán kính R = 5.

Cách 1: xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, \(\Delta\) có phương trình y – kx = 0

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với ( C )  \(\Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| {3 – 4k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 – 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)

\( \Leftrightarrow 9 + 16{k^2} – 24k = 25{k^2} + 25\)

\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow k =  – {4 \over 3}.\)

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: \(y + {4 \over 3}x = 0\) hay 4x + 3y = 0

Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của ( C ) nên điểm O nằm trên ( C ). Tiếp tuyến với ( C ) tại O có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {OI}  = (4;3)\)

Suy ra \(\Delta \) có phương trình

4x + 3y = 0.

Bài 3.27 Toán Hình học 10

Cho hai đường tròn (C1) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 5 = 0\)

và     (C2) : \({x^2} + {y^2} – 12x – 6y + 44 = 0\)

a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2)  .

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2).

Gợi ý làm bài

a) ( C 1 ) có tâm có bán kính \({R_1} = 2\);

    ( C 2 ) có tâm có bán kính \({R_2} = 1\).

b) Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:

\(y = kx + m\) hay \(kx – y + m = 0\). Ta có:

\(\Delta\) tiếp xúc vơi ( C 1 )  và ( C 2 ) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr
{{\left| {6k – 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k – 3 + m} \right|\)

Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k – 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 – 9k\) (3)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k – 3 + 6 – 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {3 – 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 9 – 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow 8{k^2} – 18k + 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{k^2} – 9k + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr
{k_2} = {{9 – \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.\)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

\(\left[ \matrix{
{k_1} = 6 – 9{k_1} \hfill \cr
{k_2} = 6 – 9{k_2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy ta được hai tiếp tuyến

\({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 – 9{k_1};\)

\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 – 9{k_2}.\)

Trường hợp 2:

\(\eqalign{
& 3k + m = – 2(6k – 3 + m) \cr
& \Leftrightarrow 3m = 6 – 15k \cr} \)

\( \Leftrightarrow m = 2 – 5k\) (4)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k – 3 + 2 – 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {k – 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {(k – 1)^2} = {k^2} + 1\)

\(\Leftrightarrow {k^2} – 2k + 1 = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

Vậy ta được tiếp tuyến

\({\Delta _3}:y = 2.\)

Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với Ox tại \({x_0}\):

\({\Delta _4}:x – {x_0} = 0.\)

\({\Delta _4}\) tiếp xúc vơi ( C 1 )  và ( C 2 ) khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left| {3 – {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr
\left| {6 – {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr} \)

Vậy ta được tiếp tuyến: \({\Delta _4}:x – 5 = 0\)

Tóm lại hai đường tròn ( C 1 )  và ( C 2 ) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\) và \({\Delta _4}\)