• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Giải SBT Bài 3: Công thức lượng giác – Chương 6 – Đại số 10

Đăng ngày: 10/04/2018 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Giải sách bài tập toán 10 - Kết nối Tag với:Giai sbt chuong 6 dai so 10

Bài 3: Công thức lượng giác – Lời giải bài 16, 17, 18 trang 193; bài 19, 20, 21, 22 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10.

 

Bài 16 trang 193 SBT Toán Đại số 10

Cho \(\cos \alpha  = {1 \over 3}\) tính \(sin(\alpha  + {\pi  \over 6}) – \cos (\alpha  – {{2\pi } \over 3})\)

Ta có:

\(sin(\alpha  + {\pi  \over 6}) – \cos (\alpha  – {{2\pi } \over 3})\)

= \(sin\alpha c{\rm{os}}{\pi  \over 6} + \cos \alpha \sin {\pi  \over 6} – \cos \alpha \cos {{2\pi } \over 3} – \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3}\)

\( = {{\sqrt 3 } \over 2}sin\alpha  + {1 \over 2}\cos \alpha  + {1 \over 2}\cos \alpha  – {{\sqrt 3 } \over 2}\sin \alpha \)

\( = \cos \alpha  = {1 \over 3}\)


Bài 17 trang 193 SBT Toán Đại lớp 10

Cho \(\sin \alpha  = {8 \over {17}},\sin \beta  = {{15} \over {17}}\) với \(0 < \alpha  < {\pi  \over 3},0 < \beta  < {\pi  \over 2}\). Chứng minh rằng \(\alpha  + \beta  = {\pi  \over 2}\)

Gợi ý làm bài

Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha = \sqrt {1 – {{64} \over {289}}} = \sqrt {{{225} \over {289}}} = {{15} \over {17}}; \cr
& \cos \beta = \sqrt {1 – {{225} \over {289}}} = \sqrt {{{64} \over {289}}} = {8 \over {17}} \cr} \)

Do đó:

\(\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \)

\({8 \over {17}}.{8 \over {17}} + {{15} \over {17}}.{{15} \over {17}} = {{289} \over {289}} = 1\)

Vì \(0 < \alpha  < {\pi  \over 3},0 < \beta  < {\pi  \over 2}\) nên từ đó suy ra \(\alpha  + \beta  = {\pi  \over 2}\)


Bài 18 trang 193

Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng

a) \(\sin {20^0} + 2\sin {40^0} – \sin {100^0} = \sin {40^0}\)

b) \({{\sin ({{45}^0} + \alpha ) – c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} = \tan \alpha \)

c) \({{3{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {3 – c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} =  – \cot {15^0}\)

d) \(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}\)

Bài làm

a)

\(\eqalign{
& \sin {20^0} + 2\sin {40^0} – \sin {100^0} \cr
& = (\sin {20^0} – \sin {100^0}) + 2\sin {40^0} \cr} \)

=\(2\cos {60^0}\sin ( – {40^0}) + 2\sin {40^0}\)

=\( – \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}\)

b)

\(\eqalign{
& {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) – c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} \cr
& = {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) – \sin {\rm{(}}{{45}^0} – \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \sin {\rm{(}}{{45}^0} – \alpha )}} \cr} \)

=\({{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha \)

c)

\({{3{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {3 – c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} – {{\cot }^2}{{15}^0}}}\)

=\({{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} – \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} – 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}\)

Mặt khác ta có

\(\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cos (\alpha  + \beta )} \over {\sin (\alpha  + \beta )}} = {{\cos \alpha \cos \beta  – \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }}\)

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(\sin \alpha \sin \beta \) ta được

\(\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  – 1} \over {\cot \alpha  + \cot \beta }}\)

Tương tự

\(\cot (\alpha  – \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  + 1} \over {\cot \beta  – \cot \alpha }}\)

Do đó

\(A = \cot ({15^0} – {30^0})\cot ({15^0} + {30^0}) =  – \cot {15^0}\)

d)

\(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}\)

= \(\sin ({180^0} + {20^0})\sin ({360^0} – {50^0}) + c{\rm{os(36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ –  2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{)cos5}}{{\rm{0}}^0}\)

\( = ( – \sin {20^0})( – \sin {50^0}) + \cos {20^0}\cos {50^0}\)

\( = \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}\)

= \(\cos ({50^0} – {20^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2}\)


Bài 19 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 10

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc \(\alpha ,\beta \)

a) \(\sin 6\alpha \cot 3\alpha  – c{\rm{os6}}\alpha \)

b) \({{\rm{[}}\tan ({90^0} – \alpha ) – \cot ({90^0} + \alpha ){\rm{]}}^2} – {{\rm{[}}c{\rm{ot(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ) + \cot ({270^0} + \alpha ){\rm{]}}^2}\)

c) \((\tan \alpha  – \tan \beta )cot(\alpha  – \beta ) – \tan \alpha \tan \beta \)

d) \((\cot {\alpha  \over 3} – \tan {\alpha  \over 3})\tan {{2\alpha } \over 3}\)

Lời giải

a)

\(\eqalign{
& \sin 6\alpha \cot 3\alpha – c{\rm{os6}}\alpha \cr
& = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha .{{\cos 3\alpha } \over {\sin 3\alpha }} – (2{\cos ^2}3\alpha – 1) \cr} \)

= \(2{\cos ^2}3\alpha  – 2{\cos ^2}3\alpha  + 1 = 1\)

b)

\({{\rm{[}}\tan ({90^0} – \alpha ) – \cot ({90^0} + \alpha ){\rm{]}}^2} – {{\rm{[}}c{\rm{ot(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ) + \cot ({270^0} + \alpha ){\rm{]}}^2}\)

= \({(\cot \alpha  + \tan \alpha )^2} – {(\cot \alpha  – \tan \alpha )^2}\)

= \({\cot ^2}\alpha  + 2 + {\tan ^2}\alpha  – {\cot ^2}\alpha  + 2 – {\tan ^2}\alpha  = 4\)

c)

\(\eqalign{
& (\tan \alpha – \tan \beta )cot(\alpha – \beta ) – \tan \alpha \tan \beta \cr
& = {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {\tan (\alpha – \beta )}} – \tan \alpha \tan \beta \cr} \)

=\(1 + \tan \alpha \tan \beta  – \tan \alpha \tan \beta  = 1\)

d)

\(\eqalign{
& (\cot {\alpha \over 3} – \tan {\alpha \over 3})\tan {{2\alpha } \over 3} \cr
& = ({{\cos {\alpha \over 3}} \over {\sin {\alpha \over 3}}} – {{\sin {\alpha \over 3}} \over {\cos {\alpha \over 3}}}){{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} \cr} \)

= \(\eqalign{
& {{{{\cos }^2}{\alpha \over 3} – {{\sin }^2}{\alpha \over 3}} \over {\sin {\alpha \over 3}\cos {\alpha \over 3}}}.{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} \cr
& = {{\cos {{2\alpha } \over 3}} \over {{1 \over 2}\sin {{2\alpha } \over 3}}}.{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} = 2 \cr} \)


Bài 20 trang 194 SBT Toán Đại lớp 10

Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính

a) \({\sin ^4}{\pi  \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\)

b) \(\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} – \tan 7,{5^0} – \cot 67,{5^0}\)

Lời giải

a) \({\sin ^4}{\pi  \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\)

\( = {\left( {{{1 – \cos {\pi  \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 – \cos {{3\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 – \cos {{5\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 – \cos {{7\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2}\)

\( = {1 \over 4}\left( {1 – 2\cos {\pi  \over 8} + {{\cos }^2}{\pi  \over 8} + 1 – 2\cos {{3\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{3\pi } \over 8} + 1 – 2\cos {{5\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{5\pi } \over 8} + 1 – 2\cos {{7\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{7\pi } \over 8}} \right)\)

\( = 1 – {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} + \cos {{5\pi } \over 8} + \cos {{7\pi } \over 8}} \right) + {1 \over 4}\left( {{{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{3\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{5\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{7\pi } \over 4}} \over 2}} \right)$\)

=\(1 – {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} – \cos {{3\pi } \over 8} – \cos {\pi  \over 8}} \right) + {1 \over 8}\left( {4 + {{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\)

= \({3 \over 2}\)

b) \(\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} – \tan 7,{5^0} – \cot 67,{5^0}\)

= \({{\cos 7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}}} – {{\sin 7,{5^0}} \over {\cos 7,{5^0}}} + {{\sin 67,{5^0}} \over {\cos 67,{5^0}}} – {{\cos 67,{5^0}} \over {\sin 67,{5^0}}}\)

= \({{{{\cos }^2}7,{5^0} – {{\sin }^2}7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}\cos 7,{5^0}}} + {{{{\sin }^2}67,{5^0} – {{\cos }^2}67,{5^0}} \over {sin67,{5^0}\cos 67,{5^0}}}\)

= \(\eqalign{
& {{\cos {{15}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{15}^0}}} – {{\cos {{135}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{135}^0}}} \cr
& = {{2(\sin {{135}^0}\cos {{15}^0} – \cos {{135}^0}\sin {{15}^0})} \over {\sin {{15}^0}\sin {{135}^0}}} \cr} \)

= \({{\sin ({{135}^0} – {{15}^0})} \over {\sin ({{45}^0} – {{30}^0})\sin ({{180}^0} – {{45}^0})}}\)

= \({{2\sin {{120}^0}} \over {(\sin {{45}^0}\cos {{30}^0} – \cos {{45}^0}\sin {{30}^0})sin{{45}^0}}}\)

\(\eqalign{
& = {{\sqrt 3 } \over {{{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}).{{\sqrt 2 } \over 2}}} \cr
& = {{4\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 – 1}} = 6 + 2\sqrt 3 \cr} $\)


Bài 21 trang 194

Rút gọn các biểu thức

a) \({{\sin 2\alpha  + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}\)

b) \({{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha  \over 2}}}\)

c) \({{1 + c{\rm{os}}\alpha  – \sin \alpha } \over {1 – c{\rm{os}}\alpha  – {\rm{sin}}\alpha }}\)

d) \({{1 + \sin \alpha  – 2{{\sin }^2}({{45}^0} – {\alpha  \over 2})} \over {4c{\rm{os}}{\alpha  \over 2}}}\)

Bài làm

a) \({{\sin 2\alpha  + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2\cos \alpha  + 1)} \over {2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}\)

= \({{\sin \alpha (2\cos \alpha  + 1)} \over {c{\rm{os}}\alpha (2{\rm{cos}}\alpha  + 1)}} = \tan \alpha \)

b) \({{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha  \over 2}}} = {{16{{\sin }^2}{\alpha  \over 2}{{\cos }^2}{\alpha  \over 2}} \over {{{\sin }^2}{\alpha  \over 2}}} = 16{\cos ^2}{\alpha  \over 2}\)

c) \({{1 + c{\rm{os}}\alpha  – \sin \alpha } \over {1 – c{\rm{os}}\alpha  – {\rm{sin}}\alpha }} = {{2{{\cos }^2}{\alpha  \over 2} – 2\sin {\alpha  \over 2}\cos {\alpha  \over 2}} \over {2si{n^2}{\alpha  \over 2} – 2\sin {\alpha  \over 2}\cos {\alpha  \over 2}}}\)

= \({{2\cos {\alpha  \over 2}(\cos {\alpha  \over 2} – \sin {\alpha  \over 2})} \over {2\sin {\alpha  \over 2}(sin{\alpha  \over 2} – \cos {\alpha  \over 2})}} =  – \cot {\alpha  \over 2}\)

d) \({{1 + \sin \alpha  – 2{{\sin }^2}({{45}^0} – {\alpha  \over 2})} \over {4c{\rm{os}}{\alpha  \over 2}}} = {{\sin \alpha  + \cos ({{90}^0} – \alpha )} \over {4\cos {\alpha  \over 2}}}\)

=\({{\sin \alpha  + \sin \alpha } \over {4\cos {\alpha  \over 2}}} = {{4\sin {\alpha  \over 2}\cos {\alpha  \over 2}} \over {4\cos {\alpha  \over 2}}} = \sin {\alpha  \over 2}\)


Bài 22 trang 194 SBT Toán lớp 10

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD. Biết \(\tan \widehat {BDC} = {3 \over 4}\) tính các giá trị lượng giác của \(\widehat {BAD}\)

Gợi ý làm bài

Ta có (h.64)

Giải SBT Bài 3: Công thức lượng giác – Chương 6 – Đại số 10

\(\widehat {ABD} = \widehat {ADB}\)

\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\)

=> \(\widehat {BDC} = \widehat {ADB}\)

Suy ra \(\widehat {BAD} = \pi  – 2\widehat {BDC}\)

Từ đó ta có:

\(\eqalign{
& \tan \widehat {BAD} = – \tan 2\widehat {BDC} = – {{2\tan \widehat {BDC}} \over {1 – {{\tan }^2}\widehat {BDC}}} \cr
& = – {{2.{3 \over 4}} \over {1 – {9 \over {16}}}} = – {3 \over 2}.{{16} \over 7} = – {{24} \over 7} \cr} \)

Vì \({\pi  \over 2} < \widehat {BAD} < \pi \) nên \(\cos \widehat {BAD} < 0\). Do đó

\(\eqalign{
& \cos \widehat {BAD} = – {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\widehat {BAD}} }} \cr
& = – {1 \over {\sqrt {1 + {{576} \over {49}}} }} = – {7 \over {25}} \cr} \)

\(\eqalign{
& \sin \widehat {BAD} = \cos \widehat {BAD}.\tan \widehat {BAD} \cr
& = {{ – 7} \over {25}}.{{ – 24} \over 7} = {{24} \over {25}} \cr} \)

Thuộc chủ đề:Giải sách bài tập toán 10 - Kết nối Tag với:Giai sbt chuong 6 dai so 10

Bài liên quan:

  1. Giải SBT Bài tập ôn tập Chương 6 – Đại số 10
  2. Giải SBT Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung – Chương 6 – Đại số 10
  3. Giải SBT Bài 1: Cung và góc lượng giác – Chương 6 – Đại số 10

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Giải Bài Tập sách bài tập (SBT) Toán 10 – Kết nối




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.