Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung – Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 189; bài 13, 14, 15 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10.
Bài 7 trang 189 SBT Toán Đại 10
Cho \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau
a) \(\cos (\alpha – {\pi \over 2})\);
b) \(\sin ({\pi \over 2} + \alpha )\);
c) \(\tan ({{3\pi } \over 2} – \alpha )\);
d) \(\cot (\alpha + \pi )\)
Giải
a) Với \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) thì \({\pi \over 2} < \alpha – {\pi \over 2} < \pi \), do đó \(\cos (\alpha – {\pi \over 2}) < 0\).
b) \({{3\pi } \over 2} < {\pi \over 2} + \alpha < 2\pi \) nên \(\sin ({\pi \over 2} + \alpha ) < 0\)
c) \(0 < {{3\pi } \over 2} – \alpha < {\pi \over 2}\) nên \(\tan ({{3\pi } \over 2} – \alpha ) > 0\)
d) \(\pi < \alpha + \pi < {{5\pi } \over 2}\) nên \(\cot (\alpha + \pi ) > 0\)
Bài 8 trang 189
Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \), ta luôn có
a) \(\sin (\alpha + {\pi \over 2}) = \cos \alpha \);
b) \({\rm{cos}}(\alpha + {\pi \over 2}) = – \sin \alpha \);
c) \(\tan (\alpha + {\pi \over 2}) = – \cot \alpha \);
d) \(\cot (\alpha + {\pi \over 2}) = – \tan \alpha \).
Gợi ý làm bài
a) \(\sin (\alpha + {\pi \over 2}) = \sin ({\pi \over 2} – ( – \alpha )) = c{\rm{os( – }}\alpha {\rm{) = cos}}\alpha \)
b) \({\rm{cos}}(\alpha + {\pi \over 2}) = c{\rm{os(}}{\pi \over 2} – ( – \alpha ) = \sin ( – \alpha ) = – \sin \alpha \)
c) \(\tan (\alpha + {\pi \over 2}) = {{\sin (\alpha + {\pi \over 2})} \over {\cos (\alpha + {\pi \over 2})}} = {{\cos \alpha } \over { – \sin \alpha }} = – \cot \alpha \)
d) \(\cot (\alpha + {\pi \over 2}) = {{\cos (\alpha + {\pi \over 2})} \over {\sin (\alpha + {\pi \over 2})}} = {{ – \sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = – \tan \alpha \)
Bài 9 trang 189 Sách bài tập Đại số 10
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), nếu
a) \({\rm{cos}}\alpha = – {1 \over 4},\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\)
b) \({\rm{sin}}\alpha = {2 \over 3},{\pi \over 2} < \alpha < \pi \)
c) \({\rm{tan}}\alpha = {7 \over 3},0 < \alpha < {\pi \over 2}\)
d) \({\rm{cot}}\alpha = – {{14} \over 9},{{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \)
HD giải
a) \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} = > \sin \alpha < 0\)
Vậy \(\sin \alpha = – \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = – \sqrt {1 – {1 \over {16}}} = – {{\sqrt {15} } \over 4}\)
\(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha }} = \sqrt {15} ,\cot \alpha = {1 \over {\sqrt {15} }}\)
b) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi = > c{\rm{os}}\alpha {\rm{ < 0}}\)
Vậy \(\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = – \sqrt {1 – {4 \over 9}} = {{ – \sqrt 5 } \over 3}\)
\(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {c{\rm{os}}\alpha }}{\rm{ = – }}{2 \over {\sqrt 5 }}{\rm{,cot}}\alpha {\rm{ = – }}{{\sqrt 5 } \over 2}\)
c) \(0 < \alpha < {\pi \over 2} = \cos \alpha > 0,co{s^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}\)
Vậy \(\cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{49} \over 9}} }} = {3 \over {\sqrt {58} }}\)
\(\sin \alpha = \cos \alpha \tan \alpha = {7 \over {\sqrt {58} }},\cot \alpha = {3 \over 7}\)
d) \({{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi = > \sin \alpha < 0,{\sin ^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\cot }^2}\alpha }}\)
Vậy \(\sin \alpha = – {1 \over {\sqrt {1 + {{196} \over {81}}} }} = – {9 \over {\sqrt {277} }}\)
\({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = sin}}\alpha {\rm{cot}}\alpha {\rm{ = }}{{14} \over {\sqrt {277} }},\tan \alpha = {1 \over {\cot \alpha }} = – {9 \over {14}}\)
Bài 10 trang 189
Biết \(\sin \alpha = {3 \over 4}\) và \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \). Tính
a) \(A = {{2\tan \alpha – 3\cot \alpha } \over {\cos \alpha + tan\alpha }}\)
b) \(B = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha } \over {\tan \alpha – \cot \alpha }}\)
Gợi ý
a) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi = > \cos \alpha < 0\)
Ta có: \(\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = – \sqrt {1 – {9 \over {16}}} = – {{\sqrt 7 } \over 4}\)
\(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = – {3 \over {\sqrt 7 }},\cot \alpha = – {{\sqrt 7 } \over 3}\)
Vậy \(A = {{ – {6 \over {\sqrt 7 }} + \sqrt 7 } \over { – {{\sqrt 7 } \over 4} – {3 \over {\sqrt 7 }}}} = – {4 \over {19}}\)
b) \(B = {{{7 \over {16}} + {7 \over 9}} \over { – {3 \over {\sqrt 7 }} + {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 7 }}}} = {{{{7 \times 25} \over {144}}} \over { – {2 \over {3\sqrt 7 }}}} = – {{175\sqrt 7 } \over {96}}\)
Bài 11 trang 189 Toán Đại lớp 10
Cho \(\tan \alpha – 3\cot \alpha = 6\) và \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\). Tính
a) \(\sin \alpha + \cos \alpha \)
b) \({{2\sin \alpha – \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\)
Lời giải
Vì \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\)
Nên \(\cos \alpha < 0,\sin \alpha < 0\) và \(\tan \alpha > 0\)
Ta có: \(\tan \alpha – 3\cot \alpha = 6 \Leftrightarrow \tan \alpha – {3 \over {\tan \alpha }} – 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha – 6\tan \alpha – 3 = 0\)
Vì \(\tan \alpha > 0\) nên \(\tan \alpha = 3 + 2\sqrt 3\)
a) \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {1 \over {22 + 12\sqrt 3 }}\)
Suy ra \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = – }}{1 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }},\sin \alpha = – {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}.\)
Vậy \(\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha {\rm{ = – }}{{4 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}\)
\(\eqalign{
& {{2\sin \alpha – \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2 – {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr
& = \tan \alpha .{{2\cos \alpha – 1} \over {{\rm{cos}}\alpha }}.{{\sin \alpha } \over {\sin \alpha + 1}} = {\tan ^2}\alpha .{{2\cos \alpha – 1} \over {\sin \alpha + 1}} \cr} \)
\(\eqalign{
& {(3 + 2\sqrt 3 )^2}.{{ – {2 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}} \over { – {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} + 1}} \cr
& = (21 + 12\sqrt 3 ).{{2 + \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } } \over {3 + 2\sqrt 3 – \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} \cr} \)
Bài tập 12
Chứng minh các đẳng thức
a) \({{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ – cot}}\alpha }} = \tan \alpha \tan \beta\)
b) \(\tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\)
c) \(2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 = 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\)
Trả lời
a)
\(\eqalign{
& {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ – cot}}\alpha }} = {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{1 \over {\tan \beta }} – {1 \over {\tan \alpha }}}} \cr
& = {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{{\tan \alpha – \tan \beta } \over {tan\alpha \tan \beta }}}} = \tan \alpha \tan \beta \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& \tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} \cr
& = \tan ({90^0} + {10^0}) + {{\sin ({{360}^0} + {{170}^0})} \over {1 + \sin ({{720}^0} – {{80}^0})}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = – \cot {10^0} + {{\sin {{170}^0}} \over {1 – \sin {{80}^0}}} \cr
& = – {{\cos {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}}} + {{\sin {{10}^0}} \over {1 – c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \)
\( = {{ – \cos {{10}^0} + {{\cos }^2}{{10}^0} + {{\sin }^2}{{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}(1 – c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0})}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\)
\(\eqalign{
& c)2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 \cr
& = 2({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)({\sin ^4}x – {\sin ^2}x{\cos ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + 1 \cr
& = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + {({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)^2} – 2{\sin ^{^2}}x{\cos ^2}x \cr
& = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + ({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) \cr
& = 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) \cr} \)
Bài 13 trang 190 SBT Toán lớp 10
Cho \(\tan \alpha + \cos \alpha = m\), hãy tính theo m
a) \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \)
b) \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \)
Giải
a)
\(\eqalign{
& {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \cr
& = {(\tan \alpha + \cot \alpha )^2} – 2\tan \alpha \cot \alpha = {m^2} – 2 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \cr
& = (\tan \alpha + \cot \alpha )({\tan ^2}\alpha – \tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha ) \cr
& = m({m^2} – 3) \cr} \)
Bài 14 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại lớp 10
Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức
a) \(A = \tan {18^0}\tan {288^0} + \sin {32^0}\sin {148^0} – \sin {302^0}\sin {122^0}\)
b) \(B = {{1 + {{\sin }^4}\alpha – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \over {1 – {{\sin }^6}\alpha – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha }}\)
Gợi ý làm bài
a)
\(A = \tan ({90^0} – {72^0})\tan ({360^0} – {72^0}) + \sin {32^0}\sin ({180^0} – {32^0}) – \sin ({360^0} – {58^0})\sin ({180^0} – {58^0})\)
\(\eqalign{
& \cot {72^0}( – \tan {72^0}) + {\sin ^2}{32^0} + {\sin ^2}{58^0} \cr
& = – 1 + {\sin ^2}{32^0} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{32^0} \cr
& = – 1 + 1 = 0 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& B = {{1 + ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )(si{n^2}\alpha – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )} \over {1 – ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({{\sin }^4}\alpha – {{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )}} \cr
& = {{1 + {{\sin }^2}\alpha – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {1 – {\rm{[}}{{({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )}^2} – 3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \cr
& = {{3{{\sin }^2}\alpha } \over {3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = {2 \over 3}(1 + {\tan ^2}\alpha ) \cr} \)
Bài 15 trang 190
Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) làm cho biểu thức \({{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.
Gợi ý làm bài
Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (1 + {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr
& = {{{{\sin }^2}\alpha (1 + c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha (1 + \sin \alpha )}} \cr} \)
Vì \(1 + c{\rm{os}}\alpha \ge {\rm{0}}\) và \(1 + \sin \alpha \ge {\rm{0}}\) cho nên biểu thức đã cho không thể có giá trị là một số âm.
Trả lời