Giải Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1

GIẢI CHI TIẾT Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1 – Sách SGK CÁNH DIỀU

================

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1

Bài 63 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1:Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều dương). Khi đó, số đo của góc lượng giác (OA, OC) bằng:

A.$\frac{2\pi }{3}+k2\pi$.

B.$-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$.

C.$\frac{\pi }{3}+k2\pi$.

D.$-\frac{\pi }{3}+k2\pi$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}=\frac{360°}{6}=60°=\frac{\pi }{3}$.

Khi đó, ta có:$\left(OA,OC\right)=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$.

Bài 64 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1:Cho tan α = 2. Giá trị của biểu thức$A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$bằng:

Lời giải:

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos α ta được:

$A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$$=\frac{3\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{3.2+1}{2-1}=\frac{7}{1}=7$.

Bài 65 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Giá trị của biểu thức A = (2sin x – cos x)²+ (2cos x + sin x)²bằng:

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có A = (2sin x – cos x)²+ (2cos x + sin x)²

= 4sin²x – 4sin x cos x + cos²x + 4cos²x + 4cos x sin x + sin²x

= 5sin²x + 5cos²x

= 5(sin²x + cos²x)

= 5 . 1 = 5.

Bài 66 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu hai góc a và b có tan a =$\frac{1}{3}$và tan b =$\frac{1}{2}$thì giá trị của tan(a – b) bằng:

A.$\frac{1}{7}$.

B.$-\frac{1}{5}$.

C.$-\frac{1}{7}$.

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có$\tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{3}.\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{6}}{}\frac{7}{6}=-\frac{1}{7}$.

Bài 67 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu$\cos 2\alpha =\frac{\sqrt{3}}{6}$thì giá trị của biểu thức$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$bằng:

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B.$\frac{-3+\sqrt{3}}{12}$.

C.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

D.$\frac{3+\sqrt{3}}{12}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\cos \frac{2\pi }{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{2}\right)=\frac{-3+\sqrt{3}}{12}$.

Bài 68 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Phương trình cos 2x = 0 có các nghiệm là:

A.$x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B.$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C.$x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D.$x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có cos 2x = 0$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 69 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Phương trình tan x =$-\frac{1}{\sqrt{3}}$có các nghiệm là:

A.$x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B.$x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C.$x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D.$x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do$\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$nên tan x =$-\frac{1}{\sqrt{3}}$$\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 70 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng:

a) sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°) = sin 15°;

b)$\tan \frac{9\pi }{20}=\frac{1+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{5}}$.

Lời giải:

a) Ta có VT = sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°)

= sin 45° . cos 30° + cos 45° . (– sin 30°)

= sin 45° . cos 30° – cos 45° . sin 30°

= sin(45° – 30°)

= sin 15° = VP (đpcm).

b) Ta có$\tan \frac{9\pi }{20}=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{5}}=\frac{1+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{5}}$.

Vậy$\tan \frac{9\pi }{20}=\frac{1+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{5}}$(đpcm).

Bài 71 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Cho sin(45°– α) =$\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

a) Chứng minh rằng${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$.

b) Tính sin 2α.

Lời giải:

a) Sử dụng công thức hạ bậc và quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\cos \left(90°-2\alpha \right)}{2}=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$.

Vậy${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$(đpcm).

b) Vì sin(45°– α) =$\frac{1}{2\sqrt{2}}$nên sin²(45°– α) =${\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{8}$.

Theo câu a) ta có${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$, do đó$\frac{1-\sin 2\alpha }{2}=\frac{1}{8}$.

Từ đó suy ra$\sin 2\alpha =\frac{3}{4}$.

Bài 72 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1:Giải phương trình:

a)$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$;

b)$\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

c)$\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

d)$2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$;

e)$\sqrt{3}\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-1=0$;

g) cot(3x + π) = – 1.

Lời giải:

a) Do$\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$nên$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$$\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

b) Do$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$nên$\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$

c) Do$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$nên $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\cos \frac{\pi }{4}$

d)$2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$

$\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$ (do$\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$)

e)$\sqrt{3}\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-1=0$

$\iff \tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{\pi }{6}$ (do$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$)

$\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

g) Do$\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$nên cot(3x + π) = – 1$\iff \cot \left(3x+\pi \right)=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff 3x+\pi =-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff 3x=-\frac{5\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{5\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 73 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1:Giải phương trình:

a)$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$;

b)$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$;

c)${\cos }^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)={\cos }^2\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$;

d)$\cot 3x=\tan \frac{2\pi }{7}$.

Lời giải:

a)$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$

b)$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$

c) Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

${\cos }^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)={\cos }^2\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \frac{1+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=\frac{1+\cos \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}$

$\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$

d) Sử dụng quan hệ phụ nhau của hai góc lượng giác, ta có:

$\cot 3x=\tan \frac{2\pi }{7}$

$\iff \cot 3x=\cot \left(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{7}\right)$

$\iff \cot 3x=\cot \frac{3\pi }{14}$

$\iff 3x=\frac{3\pi }{14}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{14}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 74 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1:Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm. Khoảng cách h (cm) từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức h = |y|, trong đó$y=a\sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)$với t là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây (t ≥ 0) và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí A (Hình 16).

a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?

b) Tìm giá trị của a.

c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.

Lời giải:

a) Xét h = 0 hay |y| = 0, suy ra y = 0, tức là$a\sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)=0$$\iff \sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)=0$

$\iff \frac{\pi }{5}t=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=5k\left(k\in \mathbb{Z},k\ge 0\right)$(do t ≥ 0).

Ta nhận thấy, từ thời điểm ban đầu, cứ sau 5 giây, khoảng cách từ chất điểm đến trục hoành lại bằng 0. Suy ra sau mỗi 5 giây, chất điểm chuyển động được nửa vòng. Vậy chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây.

b) Do chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây nên khi t = 2,5 giây thì chất điểm chuyển động được một phần tư vòng theo chiều dương, suy ra tại t = 2,5 ta có y = |y| = h = 5 (do bằng bán kính). Khi đó,$a\sin \left(\frac{\pi }{5}\mathrm{.2,5}\right)=5$$\iff a=5$.

Vậy a = 5.

c) Từ kết quả câu b, ta có:$y=5\sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)$.

Do h = 2,5 cm và chất điểm nằm ở dưới trục hoành nên y = – 2,5.

Với y = – 2,5, ta có:$5\sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)=-\mathrm{2,5}$

$\iff \sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

Với vòng quay đầu tiên thì 0 ≤ t ≤ 10, do đó$t=\frac{35}{6},t=\frac{55}{6}$.

Vậy tại thời điểm$t=\frac{35}{6}$giây,$t=\frac{55}{6}$giây thì chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm ở dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 – SGK CÁNH DIỀU