Giải Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác - Sách Toán

GIẢI CHI TIẾT Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác – Sách SGK CÁNH DIỀU

================

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 15 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hai góc a và b với tan a = $\frac{1}{7}$ và tanb = $\frac{3}{4} .$ Khi đó, tan(a + b) bằng:

A. 1.

B. $- \frac{17}{31}$ .

C. $\frac{17}{31}$ .

D. – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a . \tan b} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} . \frac{3}{4}} = \frac{25}{28} \frac{25}{28} = 1$ .

Bài 16 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu $\sin α = \frac{1}{\sqrt{3}}$ với $0 < α < \frac{π}{2}$ thì giá trị của $\cos (α + \frac{π}{3})$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2}$ .

B. $\sqrt{6} - 3$ .

C. $\frac{\sqrt{6}}{6} - 3$ .

D. $\sqrt{6} - \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $0 < α < \frac{π}{2}$ nên cos α > 0, do đó từ sin²α + cos²α = 1, suy ra

$\cos α = \sqrt{1 - \sin^{2} α} = \sqrt{1 - {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Ta có $\cos (α + \frac{π}{3})$ $= \cos α \cos \frac{π}{3} - \sin α \sin \frac{π}{3}$ $= \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2}$ .

Bài 17 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu $\sin α = \frac{2}{3}$ thì giá trị của biểu thức $P = (1 - 3 \cos 2 α) (2 + 3 \cos 2 α)$ bằng:

A. $\frac{11}{9}$ .

B. $\frac{12}{9}$ .

C. $\frac{13}{9}$ .

D. $\frac{14}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $P = (1 - 3 \cos 2 α) (2 + 3 \cos 2 α)$

Nếu sinα = 2/3 thì giá trị của biểu thức P = (1 - 3cos2α)(2 + 3cos2α) bằng

Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. $\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{3 - \cos 4 x}{4}$ .

B. $\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{3 + \cos 4 x}{4}$ .

C. $\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{3 + \cos 4 x}{2}$ .

D. $\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{3 - \cos 4 x}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²x cos²x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)²= $1 - 2 {(\frac{\sin 2 x}{2})}^{2} = 1 - 2. \frac{\sin^{2} 2 x}{4} = 1 - \frac{2 (1 - \cos^{2} 2 x)}{4}$

$= 1 - \frac{2 - 2 \cos^{2} 2 x}{4} = \frac{4 - 2 + 2 \cos^{2} 2 x}{4}$ $= \frac{3 + (2 \cos^{2} 2 x - 1)}{4} = \frac{3 + \cos 4 x}{4}$ .

Vậy $\sin^{4} x + \cos^{4} x = \frac{3 + \cos 4 x}{4}$ .

Bài 19 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:

A. – 2cos x.

B. – cos x.

C. 0.

D. sin x – cos x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x

= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x

= 2 cos 120° cos x – cos x

= 2 . $(- \frac{1}{2})$ . cos x – cos x

= – cos x – cos x

= – 2 cos x.

Bài 20 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu $\cos a = \frac{3}{4}$ thì giá trị của $\cos \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$ bằng:

A. $\frac{23}{16}$ .

B. $\frac{7}{8}$ .

C. $\frac{7}{16}$ .

D. $\frac{23}{8}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = \cos^{2} \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos 2. \frac{a}{2}}{2} = \frac{1 + \cos a}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{7}{8}$ .

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu $\cos a = \frac{\sqrt{5}}{3}$ thì giá trị của biểu thức $A = 4 \sin (a + \frac{π}{3}) \sin (a - \frac{π}{3})$ bằng:

A. $- \frac{11}{9}$ .

B. $\frac{11}{9}$ .

C. $- \frac{1}{9}$ .

D. $\frac{1}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = 4 \sin (a + \frac{π}{3}) \sin (a - \frac{π}{3})$

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1

$= - 2 (\cos 2 a - \cos \frac{2 π}{3})$

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1

Bài 22 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Nếu $\cos a = \frac{1}{3}, \sin b = \frac{- 2}{3}$ thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng:

A. $- \frac{2}{3}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. $\frac{2}{3}$ .

D. $- \frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có cos(a + b) cos(a − b) Nếu cosa = 1/3, sinb = -2/3 thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng

$= \frac{1}{2} (\cos 2 a + \cos 2 b)$

Nếu cosa = 1/3, sinb = -2/3 thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng

Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Giá trị của biểu thức $P = \frac{\sin \frac{π}{9} + \sin \frac{5 π}{9}}{\cos \frac{π}{9} + \cos \frac{5 π}{9}}$ bằng:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

B. $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

C. $\sqrt{3}$ .

D. $- \sqrt{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $P = \frac{\sin \frac{π}{9} + \sin \frac{5 π}{9}}{\cos \frac{π}{9} + \cos \frac{5 π}{9}}$ $= \frac{2 \sin \frac{\frac{π}{9} + \frac{5 π}{9}}{2} \cos \frac{\frac{π}{9} - \frac{5 π}{9}}{2}}{2 \cos \frac{\frac{π}{9} + \frac{5 π}{9}}{2} \cos \frac{\frac{π}{9} - \frac{5 π}{9}}{2}}$

$= \frac{\sin \frac{π}{3} \cos (- \frac{2 π}{9})}{\cos \frac{π}{3} \cos (- \frac{2 π}{9})} = \frac{\sin \frac{π}{3}}{\cos \frac{π}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ .

Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x}{\cos x + \cos 2 x + \cos 3 x}$ ta được kết quả là:

A. tan x.

B. tan 3x.

C. tan 2x.

D. tan x + tan 2x + tan 3x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $A = \frac{\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x}{\cos x + \cos 2 x + \cos 3 x}$ $= \frac{(\sin x + \sin 3 x) + \sin 2 x}{(\cos x + \cos 3 x) + \cos 2 x}$

$= \frac{2 \sin \frac{x + 3 x}{2} \cos \frac{x - 3 x}{2} + \sin 2 x}{2 \cos \frac{x + 3 x}{2} \cos \frac{x - 3 x}{2} + \cos 2 x}$ $= \frac{2 \sin 2 x \cos (- x) + \sin 2 x}{2 \cos 2 x \cos (- x) + \cos 2 x}$

$= \frac{\sin 2 x (2 \cos x + 1)}{\cos 2 x (2 \cos x + 1)} = \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} = \tan 2 x$ .

Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Cho $\sin a = \frac{2}{3}$ với $\frac{π}{2} < a < π$ . Tính:

a) cos a, tan a;

b) $\sin (a + \frac{π}{4}), \cos (a - \frac{5 π}{6}), \tan (a + \frac{2 π}{3})$ ;

c) sin 2a, cos 2a.

Lời giải:

a) Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên cos a < 0, do đó từ sin²a + cos²a = 1, suy ra

$\cos a = - \sqrt{1 - \sin^{2} a} = - \sqrt{1 - {(\frac{2}{3})}^{2}} = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Ta có $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

b) $\sin (a + \frac{π}{4})$ $= \sin a \cos \frac{π}{4} + \cos a \sin \frac{π}{4}$ $= \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{2}}{2} + (- \frac{\sqrt{5}}{3}) . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{10}}{6}$ .

$\cos (a - \frac{5 π}{6})$ $= \cos a \cos \frac{5 π}{6} + \sin a \sin \frac{5 π}{6}$ $= (- \frac{\sqrt{5}}{3}) . (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{15} + 2}{6}$ .

$\tan (a + \frac{2 π}{3})$ $= \frac{\tan a + \tan \frac{2 π}{3}}{1 - \tan a \tan \frac{2 π}{3}} = \frac{- \frac{2 \sqrt{5}}{5} + (- \sqrt{3})}{1 - (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) . (- \sqrt{3})} = \frac{8 \sqrt{5} + 9 \sqrt{3}}{7}$ .

c) $\sin 2 a = 2 \sin a \cos a = 2. \frac{2}{3} . (- \frac{\sqrt{5}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ .

$\cos 2 a = 2 \cos^{2} a - 1 = 2. {(- \frac{\sqrt{5}}{3})}^{2} - 1 = \frac{1}{9}$ .

Bài 26 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính $\sin \frac{a}{2}$ , $\cos \frac{a}{2}$ , $\tan \frac{a}{2}$ .

Lời giải:

Do π < a < 2π nên $\frac{π}{2} < \frac{a}{2} < π$ . Suy ra $\sin \frac{a}{2} > 0, \cos \frac{a}{2} < 0$ .

Ta có: $\sin^{2} \frac{a}{2} = \frac{1 - \cos a}{2} = \frac{1 - 0,2}{2} = 0,4$ , suy ra $\sin \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Do đó, $\cos \frac{a}{2} = - \sqrt{1 - \sin^{2} \frac{a}{2}} = - \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{2}} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\tan \frac{a}{2} = \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{5} - \frac{\sqrt{15}}{5} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Bài 28 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1:Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b = $\frac{- 1}{3}$ .

Lời giải:

Ta có cos(a + 2b) = 2cos a

⇔ cos[(a + b) + b] = 2cos[(a + b) – b]

⇔ cos(a + b) . cos b – sin(a + b) . sin b = 2[cos(a + b) . cos b + sin(a + b) . sin b]

⇔ cos(a + b) . cos b – 2 cos(a + b) . cos b = 2 sin(a + b) . sin b + sin(a + b) . sin b

⇔ – cos(a + b) . cos b = 3 sin(a + b) . sin b

⇔ sin(a + b) . sin b = $- \frac{1}{3}$ cos(a + b) . cos b

$\Leftrightarrow \frac{\sin (a + b) \sin b}{\cos (a + b) \cos b} = - \frac{1}{3}$

⇔ tan(a + b) tan b = $\frac{- 1}{3}$ .

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1:Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $\tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} . \tan \frac{A}{2} = 1$ .

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{π}{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ .

Khi đó $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = - \tan C$

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có $\frac{A + B + C}{2} = \frac{π}{2}$ , suy ra $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$ nên $\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot \frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} = 1$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} . \tan \frac{A}{2} = 1$ .

Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1:Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = $\frac{1}{2}$ BC, DN = $\frac{1}{3}$ DC (Hình 4).

a) Tính $\tan (\hat{B A M} + \hat{D A N})$ .

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì

Hình 4

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABM, có $\tan \hat{B A M} = \frac{B M}{B A} = \frac{1}{2}$ .

Trong tam giác vuông ADN, có $\tan \hat{D A N} = \frac{D N}{A D} = \frac{D N}{D C} = \frac{1}{3}$ .

Do đó, $\tan (\hat{B A M} + \hat{D A N})$ $= \frac{\tan \hat{B A M} + \tan \hat{D A N}}{1 - \tan \hat{B A M} . \tan \hat{D A N}}$ $= \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} . \frac{1}{3}} = 1$ .

b) Từ câu a) ta có $\tan (\hat{B A M} + \hat{D A N})$ = 1 nên $\hat{B A M} + \hat{D A N} = 45 °$ .

Suy ra $\hat{M A N} = \hat{B A D} - (\hat{B A M} + \hat{D A N}) = 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 – SGK CÁNH DIỀU