Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 16 (KNTT): Giới hạn của hàm số

Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 16 (KNTT): Giới hạn của hàm số – SÁCH GIÁO KHOA KẾT NỐI TRI THỨC 2024

================

Giải SBT Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 5.11 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}xneux>1\\ 2neux=1\\ 1neux<1\end{array}\right)$. Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1 không?

Lời giải:

Ta có$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }x=1$và$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }1=1$.

Vậy$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$nên hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1.

Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a)$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$;

b)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+x^2+x-3}{x^3-1}$;

c)$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}$;

d)$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$.

Lời giải:

a)$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4x+1-3^2}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}$.

b)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+x^2+x-3}{x^3-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^3-1\right)+\left(x^2-1\right)+\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(\left(x^2+x+1\right)+\left(x+1\right)+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+1}=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2$.

c)$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}$$=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}$.

Vì$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=\mathrm{0,}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1<0$và x – 2 > 0 khi x → 2⁺, nên$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=-\infty$.

Vậy$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}=-\infty$.

d)$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$

Vì$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+x-2\right)=0+0-2=-2<0$,$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0$và x < 0 nên$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}=+\infty$.

Bài 5.13 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Tìm a để hàm số$f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+axneux>3\\ 3x^2+1neux\le 3\end{array}\right)$có giới hạn khi x → 3.

Lời giải:

Ta có$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x^2+ax\right)=3^2+3a=9+3a$;

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(3x^2+1\right)={3.3}^2+1=28$.

Do đó, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3 khi$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)$, tức là 9 + 3a = 28.

Suy ra$a=\frac{19}{3}$.

Bài 5.14 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Tìm các số thực a và b sao cho$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=b$.

Lời giải:

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức x²– 3x + 1 nên đa thức 2x²– ax + 1 phải có nghiệm x = 1. Khi đó, 2 . 1²– a . 1 + 1 = 0, suy ra a = 3.

Do đó,

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1$.

Vậy b = – 1.

Bài 5.15 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}$. Tính:

a)$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$;

b)$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

a)$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$=$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}{1}=1$.

b)$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$=$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}{1}=-1$.

Bài 5.16 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Tính giới hạn$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$.

Lời giải:

Ta có$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{1}{x}-1\right)x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)x^3\left(\frac{1}{x^3}-1\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^6\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\left(\frac{1}{x^3}-1\right)=-\infty$

Bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$với m là tham số. Biết$\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$, tìm giá trị của m.

Lời giải:

Ta có$g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$

$=\frac{x^2+2x-x^2+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m$

Do đó,$\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m\right)=\frac{2}{2}-2m=1-2m$.

Mà$\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$nên 1 – 2m = 0, suy ra$m=\frac{1}{2}$.

Bài 5.18 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Cho m là một số thực. Biết$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=-\infty$. Xác định dấu của m.

Lời giải:

Ta có$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)\right)$.

Vì$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)=-m$nên để$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=-\infty$thì – m < 0, có nghĩa là m > 0.

Vậy m > 0.

Bài 5.19 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}$. Chứng minh rằng$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

Lời giải:

Lấy dãy số(x_n) bất kì sao cho x_n→ +∞. Khi đó

$\left(f\left(x_n\right)\right)=\left(\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\right)=\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\le \frac{1}{x_n^2}\to 0$khi n → +∞.

Vậy$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=0$. Từ đó suy ra$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

Bài 5.20 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 55 (triệu đồng).

a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Lời giải:

a) Chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm là

$f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+55}{x}$(triệu đồng).

b) Ta có$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+55}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$.

Ý nghĩa của giới hạn trên: Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).

=============
THUỘC: Giải SÁCH bài tập Toán 11 – KNTT