Giải Bài tập cuối chuyên đề 3 – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)

Giải Bài tập cuối chuyên đề 3 – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)

==========

Giải bài 1 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm \(M(x;y)\) của các conic sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} – \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)

c) \({y^2} = 11x\)

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a – \frac{c}{a}x.\)

b) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu: \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)

c) Parabol (P)  \({y^2} = 2px\)

+ Đỉnh \(O(0;0)\)

+ Tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

+ Bán kính qua tiêu: \(FM = x + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) có \(a = 13,b = 12\) suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 5\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – 13;0} \right),{A_2}\left( {13;0} \right),{B_1}\left( {0; – 12} \right),{B_2}\left( {0;12} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – 5;0),{F_2}(5;0),\)

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu: \(M{F_1} = 13 + \frac{5}{{13}}x;M{F_2} = 13 – \frac{5}{{13}}x.\)

b) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} – \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) có \(a = 5,b = 12\) suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 13\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right),{B_1}\left( {0; – 12} \right),{B_2}\left( {0;12} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – 13;0),{F_2}(13;0),\)

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu: \(M{F_1} = \left| {5 + \frac{{13}}{5}x} \right|;M{F_2} = \left| {5 – \frac{{13}}{5}x} \right|\)

c) Parabol (P)  \({y^2} = 11x\)  suy ra \(2p = 11\) hay \(p = \frac{{11}}{2}\)

+ Đỉnh \(O(0;0)\)

+ Tiêu điểm: \(F\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\)

+ Bán kính qua tiêu: \(FM = x + \frac{{11}}{4}\)

 

Giải bài 2 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu tiêu và tìm tâm sai của (E)

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

b Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

c) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

Lời giải chi tiết

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 5,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 4\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right),{B_1}\left( {0; – 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – 4;0),{F_2}(4;0),\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\)

b) Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) \equiv {F_2}(4;0)\) suy ra \(\frac{p}{2} = 4\) hay \(p = 8\)

Vậy PTCT của (P) là: \({y^2} = 16x\)

c) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\) trùng với \({A_1}\left( { – 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right)\) tức là \(c = 5\)

+ 2 đỉnh \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\) trùng với \({F_1}( – 4;0),{F_2}(4;0),\) tức là \(a = 4\)

\( \Rightarrow \) Tâm sai của (H) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}\)

 

 

Giải bài 3 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{14}} – \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)

c) \({y^2} = 7x\)

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Tâm sai: \(e = \frac{c}{a}\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Đường chuẩn \({\Delta _1}: x + \frac{a}{e} = 0\), \({\Delta _2}: x – \frac{a}{e} = 0\)

b) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Tâm sai: \(e = \frac{c}{a}\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Đường chuẩn \({\Delta _1}: x + \frac{a}{e} = 0\), \({\Delta _2}: x – \frac{a}{e} = 0\)

c) Parabol (P)  \({y^2} = 2px\)

+ Tâm sai: \(e = 1\)

+ Tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\) có \(a = 4,b = 2\sqrt 3 \) suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 2\)

+ Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – 2;0),{F_2}(2;0),\)

+ Đường chuẩn \({\Delta _1}: x + 8 = 0\), \({\Delta _2}: x – 8 = 0\)

b) Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{14}} – \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) có \(a = \sqrt {14} ,b = \sqrt 2 \) suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 4\)

+ Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt {14} }}{7}\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – 4;0),{F_2}(4;0),\)

+ Đường chuẩn \({\Delta _1}: x + \frac{7}{2} = 0\), \({\Delta _2}: x – \frac{7}{2} = 0\)

c) Parabol (P)  \({y^2} = 7x\) có \(2p = 7\) hay \(p = \frac{7}{2}\)

+ Tâm sai: \(e = 1\)

+ Tiêu điểm: \(F\left( {\frac{7}{4};0} \right)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{7}{4}\)

 

Giải bài 4 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường thẳng \(d: x – y + 1 = 0\) và điểm \(F(1;1)\). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) \(e = \frac{1}{2}\)

b) \(e = 1\)

c) \(e = 2\)

Bước 1: Xác định loại đường conic dựa vào tâm sai e:

+ \(0 < e < 1\) thì conic là đường elip

+ \(e = 1\) thì conic là đường parabol

+ \(e > 1\) thì conic là đường hypebol

Bước 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\)

Từ đó kết luận phương trình đường conic.

Lời giải chi tiết

a) Đường conic có tâm sai \(e = \frac{1}{2} < 1\) nên là đường elip.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y – 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}  = \left| {x + y – 1} \right|\\ \Leftrightarrow 8{\left( {x – 1} \right)^2} + 8{\left( {y – 1} \right)^2} = {\left( {x + y – 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 7{y^2} – 14x – 14y – 2xy + 15 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường elip là \(7{x^2} + 7{y^2} – 14x – 14y – 2xy + 15 = 0\)

b) Đường conic có tâm sai \(e = 1\) nên là đường parabol

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y – 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}  = \left| {x + y – 1} \right|\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x – 1} \right)^2} + 2{\left( {y – 1} \right)^2} = {\left( {x + y – 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y – 2xy + 3 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường parabol là \({x^2} + {y^2} – 2x – 2y – 2xy + 3 = 0\)

c) Đường conic có tâm sai \(e = 2 > 1\) nên là đường hypebol.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y – 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}  = 2\left| {x + y – 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2{\left( {x + y – 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 4xy = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường hypebol là \(7{x^2} + 7{y^2} – 14x – 14y – 2xy + 15 = 0\)

 

 

Giải bài 5 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 362 600 km. Tính khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng.

Nguồn: https://www.universetoday.com

Cho M bất kì thuộc Elip  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có một tiêu điểm là \({F_1}\)

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c\)

\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\)

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình quỹ đạo chuyển động của Mặt Trăng là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Giả sử tâm Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}\)

Khi đó:

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c = 362600\)

Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 0,0549\)

Suy ra \(a \approx 383663,c \approx 21063\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng bằng \(a + c = 404726\) (km)

Giải bài 6 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm \({F_1}\) của hypebol (H) khi gặp một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua \({F_2}\).

Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol (P) và hình một nhánh của hypebol (H). Parabol (P) có tiêu điểm \({F_1}\) và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiều điểm là \({F_1}\) với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai \({F_2}\) (Hình 3).

Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tin hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xa theo hướng \(M{F_1}\) , tia này gặp (H) tại điểm Nvà cho tia phản xạ tới \({F_2}\) là nơi thu tín hiệu. Cho biết \(S{F_1} = 14{\rm{ }}m,{\rm{ }}S{F_2} = 2m\)và \(A{F_1} = 1m\). Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).

(Nguồn: https://sciencestruck.com/parabolic-mirror-working-principle-applications)

Hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)

Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là \({y^2} = 2px\)

PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: tiêu điểm \(\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) của (P) là \({F_2}\) \( \Rightarrow S{F_2} = \frac{p}{2} \Rightarrow p = 4 \Rightarrow (P):{y^2} = 8x\)

Lại có: Tiêu cự của (H) là \(2c = {F_1}{F_2} = S{F_1} – S{F_2} = 12 \Rightarrow c = 6\)

Mà \(a = c – A{F_1} = 6 – 1 = 5;{b^2} = \sqrt {{c^2} – {a^2}}  = 11\)

Vậy phương trình của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} – \frac{{{y^2}}}{{11}} = 1\)

 

Giải bài 7 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là \(\frac{1}{6}m\).

a) Viết phương trình chính tắc của (P)

b) Tính khoảng cách từ một điểm \(M(0,06;0,2)\) trên ăng-ten đến F.

Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Bán kính qua tiêu của \(M(x;y)\) là: \(MF = x + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là \({y^2} = 2px\), có đỉnh O, tiêu điểm F.

Ta có: \(OF = \frac{p}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow p = \frac{1}{3}\)

Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = \frac{2}{3}x\)

b) Bán kính qua tiêu của \(M(0,06;0,2)\) là: \(MF = x + \frac{p}{2} = 0,06 + \frac{1}{6} \approx 0,23\;(m)\)

 

Giải bài 8 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa giữa hai mép vành của gương là \(MN = 32\) cm và chiều sâu của gương là \(OH = 24\) cm.

a) Viết phương trình chính tác của parabol đó.

b) Biết bóng đèn đặt tại tiêu điểm F của gương. Tính khoảng cách từ bóng đèn tới đỉnh O của gương.

Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) có tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là \({y^2} = 2px\)

Ta có: \(MN = 32cm\), \(OH = 24cm \Rightarrow M(24;16)\)

\(M \in (P)\) nên \({16^2} = 2p.24 \Rightarrow p = \frac{{16}}{3}\)

Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = \frac{{32}}{3}x\)

b) \(OF = \frac{p}{2} = \frac{8}{3}(cm)\)