Giải Bài 3. Parabol – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)

Giải Bài 3. Parabol – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)

===========

Giải mục 1 trang 56, 57, 58 Chuyên đề học tập Toán 10

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Chứng tỏ rằng nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên parabol (P) thì điểm \(N({x_0}; – {y_0})\) cũng nằm trên parabol (P)

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên parabol thì \({y_0}^2 = 2p{x_0} \Leftrightarrow {( – {y_0})^2} = 2p{x_0}\)

nên điểm \(M'({x_0}; – {y_0})\) cũng nằm trên parabol.

Thực hành 1

Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a) \(({P_1}):{y^2} = 2x\)

b) \(({P_2}):{y^2} = x\)

c) \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{5}x\)

Phương pháp giải:

Cho parabol có PTCT  \({y^2} = 2px\)

+ Tiêu điểm: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

+ Đỉnh O(0;0)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

+ Trục đối xứng: Ox

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(2p = 2\), suy ra \(p = 1\).

Vậy \(({P_1})\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\), đỉnh \(O(0;0)\), đường chuẩn \(\Delta : x =  – \frac{1}{2}\) và nhận Ox làm trục đối xứng.

b) Ta có: \(2p = 1\), suy ra \(p = \frac{1}{2}\).

Vậy \(({P_2})\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\), đỉnh \(O(0;0)\), đường chuẩn \(\Delta : x =  – \frac{1}{4}\) và nhận Ox làm trục đối xứng.

c) Ta có: \(2p = \frac{1}{5}\), suy ra \(p = \frac{1}{{10}}\).

Vậy \(({P_2})\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{{20}};0} \right)\), đỉnh \(O(0;0)\), đường chuẩn \(\Delta : x =  – \frac{1}{{20}}\) và nhận Ox làm trục đối xứng.

 

Vận dụng 1

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d: x + 2 = 0\). Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm \(J(x;y)\) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (C) đi qua \(A(2;0)\) và tiếp xúc với \(d: x + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d(J,d) = JA\\ \Leftrightarrow \left| {x + 2} \right| = \sqrt {{{(x – 2)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = {(x – 2)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = {x^2} – 4x + 4 + {y^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} = 8x\end{array}\)

Tức là tâm \(J(x;y)\) của (C) nằm trên parabol (P) \({y^2} = 8x\)

 

 

Giải mục 2 trang 55, 56, 57, 58 Chuyên đề học tập Toán 10

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ2

Cho điểm \(M(x;y)\) trên parabol (P) \({y^2} = 2px\) (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm \(F\) của (P).

Lời giải chi tiết:

Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)

Ta có:

 \(MF = \sqrt {{{\left( {x – \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{\left( {x – \frac{p}{2}} \right)}^2} + 2p{x_0}}  = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}}  = x + \frac{p}{2}\);

Thực hành 2

Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng.

a) Điểm \({M_1}(1; – 4)\) trên \(({P_1}):{y^2} = 16x\)

b) Điểm \({M_2}(3; – 3)\) trên \(({P_2}):{y^2} = 3x\)

c) Điểm \({M_3}(4;1)\) trên \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\)

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) 

+) Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(FM = {x_0} + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết:

a) \(({P_1}):{y^2} = 16x\)

Ta có \(2p = 16\), suy ra \(p = 8\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_1}(1; – 4)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 1 + \frac{8}{2} = 5.\)

b) \(({P_2}):{y^2} = 3x\)

Ta có \(2p = 3\), suy ra \(p = \frac{3}{2}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_2}(3; – 3)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 3 + \frac{{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{{15}}{4}.\)

c) \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\)

Ta có \(2p = \frac{1}{4}\), suy ra \(p = \frac{1}{8}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_3}(4;1)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 4 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = \frac{{65}}{{16}}.\)

 

 

Vận dụng 2

Một cổng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổn. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) 

+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\) 

 

Chiều cao của cổng là 7,6 m nên \(A(7,6;0)\)

Khoản cách giữa hai chân cổng là 9m nên \(B(7,6;4,5)\)

\(B \in (P)\) suy ra \(4,{5^2} = 2p.7,6 \Rightarrow p = \frac{{405}}{{304}}\)

Tiêu điểm F của (P) có tọa độ: \(F\left( {\frac{{405}}{{608}};0} \right)\)

Hay khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng là \(\frac{{405}}{{608}} \approx 0,67(m)\),

 

Vận dụng 3

Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 0,25x\). Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến F.

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) 

+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)

Lời giải chi tiết:

(P) \({y^2} = 0,25x\) có \(2p = 0,25 \Leftrightarrow p = \frac{1}{8}\)

Khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến \(F\) là:

\(MF = {x_M} + \frac{p}{2} = 0,25 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = 0,3125\)

 

Giải bài 1 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \(({P_1}):{y^2} = 2x\)

b) \(({P_2}):{y^2} = x\)

c) \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{5}x\)

Cho parabol có PTCT  \({y^2} = 2px\)

+ Tiêu điểm: \(F(\frac{p}{2};0)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(2p = 2\), suy ra \(p = 1\).

Vậy \(({P_1})\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\), đường chuẩn \(\Delta : x =  – \frac{1}{2}\).

b) Ta có: \(2p = \frac{1}{3}\), suy ra \(p = \frac{1}{6}\).

Vậy \(({P_2})\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{{12}};0} \right)\), đường chuẩn \(\Delta : x =  – \frac{1}{{12}}\).

c) Ta có: \(2p = \sqrt 2 \), suy ra \(p = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(({P_2})\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4};0} \right)\), đường chuẩn \(\Delta : x =  – \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

 

Giải bài 2 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau:

a) Điểm \({M_1}(3; – 6)\) trên \(({P_1}):{y^2} = 12x\)

b) Điểm \({M_2}(6;1)\) trên \(({P_2}):{y^2} = \frac{1}{6}x\)

c) Điểm \({M_3}(\sqrt 3 ;\sqrt 3 )\) trên \(({P_3}):{y^2} = \sqrt 3 x\)

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) 

Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(FM = {x_0} + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) \(({P_1}):{y^2} = 12x\)

Ta có \(2p = 12\), suy ra \(p = 6\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_1}(3; – 6)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 3 + \frac{6}{2} = 6.\)

b) \(({P_2}):{y^2} = \frac{1}{6}x\)

Ta có \(2p = \frac{1}{6}\), suy ra \(p = \frac{1}{{12}}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_2}(6;1)\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = 6 + \frac{{\frac{1}{{12}}}}{2} = \frac{{145}}{{24}}.\)

c) \(({P_3}):{y^2} = \sqrt 3 x\)

Ta có \(2p = \sqrt 3 \), suy ra \(p = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm \({M_3}(\sqrt 3 ;\sqrt 3 )\) là: \(FM = x + \frac{p}{2} = \sqrt 3  + \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2} = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}.\)

 

Giải bài 3 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(A(\frac{1}{4};0)\) và đường thẳng \(d: x + \frac{1}{4} = 0\). Viết phương trình của đường (P) là tập hợp các tâm \(M(x;y)\) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Lời giải chi tiết

Ta có: (C) đi qua \(A(\frac{1}{4};0)\) và tiếp xúc với \(d: x + \frac{1}{4} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d(M,d) = MA\\ \Leftrightarrow \left| {x + \frac{1}{4}} \right| = \sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{4}} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{4}} \right)^2} = {\left( {x – \frac{1}{4}} \right)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} = x\end{array}\)

Tức là tâm \(M(x;y)\) của (C) nằm trên parabol (P) \({y^2} = x\)

Giải bài 4 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho parabol (P). Trên (P) lấy hai điểm M, N sao cho đoạn thẳng MN đi qua tiêu điểm F của (P). Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến đường chuẩn  của (P) bằng \(\frac{1}{2}MN\) và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với \(\Delta \).

Với điểm M bất kì nằm trên parabol ta có: \(d(M,\Delta ) = MF\)

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)

 

M, N nằm trên parabol nên ta có: \(d(M,\Delta ) = MF;d(N,\Delta ) = NF\)

 \( \Rightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{d(M,\Delta ) + d(N,\Delta )}}{2} = \frac{{MF + NF}}{2} = \frac{{MN}}{2}\)

 

Giải bài 5 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)

Có phương trình đường chuẩn là \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

Giả sử \(M(x;y)\) nằm trên parabol, ta có: \(d(M,\Delta ) = MF\)

Vì \(MF = \sqrt {{{\left( {x – \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{\left( {x – \frac{p}{2}} \right)}^2} + 2px}  = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}}  = \left| {x + \frac{p}{2}} \right| = d(M,\Delta )\)

Hay \(MF = d(M,\Delta ) = R\) là bán kính của đường tròn tâm M và tiếp xúc với \(\Delta \).

Giải bài 6 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P)

b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Cho parabol \({y^2} = 2px\)

Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)

Khoảng cách ngắn nhất của \(MF\) là \(MF = \frac{p}{2}\), xảy ra ra khi M là đỉnh của parabol.

Lời giải chi tiết

a) Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)

Với \(M(x;y)\) bất kì nằm trên parabol, ta có: \(MF = x + \frac{p}{2} \ge \frac{p}{2}\) (do \(x \ge 0\))

Vì khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km nên \(\frac{p}{2} = 112 \Leftrightarrow p = 224\)

\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của (P) là: \({y^2} = 448x\)

b)

 

Gọi \(M(x;y)\) là vị trí sao chổi A, nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Parabol (P) có tiêu điểm \(F(112;0)\) \( \Rightarrow M(112;y)\)

\(MF = \left| {{y_M}} \right| = \sqrt {2.224.112}  = 224\)

Vậy khoảng cách là 224 km.

 

Giải bài 7 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 6x\). Tính khoảng cách từ điểm \(M(1;\sqrt 6 )\) trên gương đến tiêu điểm của (P). (với đơn vị trên hệ trục tọa độ là xentimet)

Cho parabol \({y^2} = 2px\), \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(FM = {x_0} + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(2p = 6 \Leftrightarrow p = 3\)

\(M(1;\sqrt 6 )\) nằm trên parabol vì \({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6.1\)

Bán kính qua tiêu: \(MF = x + \frac{p}{2} = 1 + \frac{3}{2} = 2,5\) (cm)