Giải Bài 2. Hypebol – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)
========
Giải mục 1 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1
Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (H). Các điểm \({M_1}( – {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; – {y_0}),{M_3}( – {x_0}; – {y_0})\) có thuộc (H) không?
Lời giải chi tiết:
Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{{{{( – {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{{( – {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( – {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{( – {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
hay các điểm \({M_1}( – {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; – {y_0}),{M_3}( – {x_0}; – {y_0})\)cũng thuộc Hypebol.
Thực hành 1
Viết phương trình chính tắc của Hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của Hypebol này.
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Trong đó:
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.
+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)
Lời giải chi tiết:
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là \(2a = 8\) và \(2b = 6\).
\( \Rightarrow a = 4,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\)
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right),{B_1}\left( {0; – 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( – 5;0),{F_2}(5;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 10\)
+ Độ dài trục thực: \(2a = 8\), độ dài trục ảo: \(2b = 6\).
Vận dụng 1
Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile \( \approx \) 1,6 km) và (H) có phương trình:
\(\frac{{{x^2}}}{{400}} – \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
+ Bề rộng của thảm nhiễu động là \(2\left| {{y_M}} \right|\), với \(M \in (H)\) và \({x_M} = – 40\)
+ Cao độ của máy bay: \(h = \frac{{2\left| {{y_M}} \right|}}{5}\)
Lời giải chi tiết
+ Bề rộng của thảm nhiễu động là \(2\left| {{y_M}} \right|\), với \(M \in (H)\) và \({x_M} = – 40\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{( – 40)}^2}}}{{400}} – \frac{{{y_M}^2}}{{100}} = 1 \Leftrightarrow {y_M} = \pm 10\sqrt 3 \)
+ Cao độ của máy bay: \(h = \frac{{2\left| {{y_M}} \right|}}{5} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{5} = 4\sqrt 3 \) (mile) \( \approx 4\sqrt 3 .1,6 \approx 11\) (km).
Giải mục 2 trang 52, 53 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
a) Chứng minh rằng \({F_1}{M^2} – {F_2}{M^2} = 4cx\)
b) Giả sử điểm \(M(x;y)\) thuộc nhánh đi qua \({A_1}( – a;0)\) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất \(M{F_2} – M{F_1} = 2a\) đã biết để chứng minh \(M{F_2} + M{F_1} = – 2\frac{{cx}}{a}\). Từ đó, chứng minh các công thức: \(M{F_1} = – a – \frac{c}{a}{x_0};M{F_2} = a – \frac{c}{a}{x_0}\)
b) Giả sử điểm \(M(x;y)\) thuộc nhánh đi qua \({A_2}(a;0)\) (Hình 5b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất \(M{F_1} – M{F_2} = 2a\) đã biết để chứng minh \(M{F_2} + M{F_1} = 2\frac{{cx}}{a}\). Từ đó, chứng minh các công thức: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0};M{F_2} = – a + \frac{c}{a}{x_0}\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2\)
Ta có: \(\overrightarrow {F{M_1}} (x + c;y);\overrightarrow {{F_2}M} (x – c;y)\)
\( \Rightarrow {F_1}{M^2} = {(x + c)^2} + {y^2};M{F_2}^2 = {(x – c)^2} + {y^2}\)
\( \Rightarrow {F_1}{M^2} – {F_2}{M^2} = {(x + c)^2} – {(x – c)^2} = 4c{x_0}\)
b) Khi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_1}( – a;0)\) (\(M{F_2} – M{F_1} = 2a\)),
\(\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 – M{F_2}^2}}{{M{F_1} – M{F_2}}} = – \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{\left( { – \frac{{2c}}{a}x} \right) – 2a}}{2} = – a – \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{\left( { – \frac{{2c}}{a}x} \right) + 2a}}{2} = a – \frac{c}{a}x\end{array}\)
c) Khi điểm \(M(x;y)\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_2}(a;0)\) (\(M{F_1} – M{F_2} = 2a\)),
\(\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 – M{F_2}^2}}{{M{F_1} – M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{\frac{{2c}}{a}x + 2a}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{\frac{{2c}}{a}x – 2a}}{2} = – a + \frac{c}{a}x\end{array}\)
Thực hành 2
Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)
Lời giải chi tiết:
Hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) có \(a = 8,b = 6\) suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10\).
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {8 + \frac{3}{4}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right| = \left| {8 – \frac{3}{4}x} \right|\)
Vận dụng 2
Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh \({A_2}(a;0)\) trên hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)
Lời giải chi tiết:
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \({A_2}(a;0)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + \frac{c}{a}a} \right| = a + c;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a – \frac{c}{a}a} \right| = c – a.\)
Giải mục 3 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ3
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:\(a > 0,b > 0\) và \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} > \sqrt {{a^2}} = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.\)
Thực hành 3
Tìm tâm sai của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Bước 1: Xác định a, b suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Bước 2: Tính tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có: \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Ta có: \(a = 3,b = 5\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {34} \)
Vậy tâm sai của \(({H_2})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)
Ta có: \(a = b = \sqrt 3 \), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 6 \)
Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)
Vận dụng 3
Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))
\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
Vận dụng 4
Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.
a) Lập phương trình chính tắc của (H)
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c – a.\)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)
+ Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c – a = {2.10^8}\)
\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} – {a^2} = {44.10^{16}}\)
\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} – \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)
b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:
\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} – 1,2x} \right|\)
Giải mục 4 trang 54, 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ4
Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Dựa theo cách tính trên, tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(M{F_2} = \left| {a – ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x – \frac{a}{e}} \right|\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a – ex} \right|}}{{\left| {x – \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a – ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a – ex} \right|}}{e}}} = e\) ;
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)
Thực hành 4
Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:
a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} – \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)
b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{18}}{5} = 0\)
c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)
Vận dụng 5
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).
Phương pháp giải:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)
Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} – {a^2}} = 5\)
Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{144}} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Giải bài 1 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Cho hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{144}} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
a) Tìm tâm sai và bán kính qua tiêu của điểm \(M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)\) trên (H).
b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.
c) Tìm điểm \(N(x;y) \in (H)\) sao cho \(N{F_1} = 2N{F_2}\) với \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của (H).
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
a) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right|,\;M{F_2} = \left| {a – ex} \right|.\)
b) + Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(a = 12,b = 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13;e = \frac{c}{a} = \frac{{13}}{{12}}\)
Bán kính qua tiêu của \(M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)\) là \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| = \left| {12 + \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{313}}{{12}},\;M{F_2} = \left| {a – ex} \right| = \left| {12 – \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{25}}{{12}}.\)
b) Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – 13;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{144}}{{13}} = 0\)
Ứng với tiêu điểm \({F_2}(13;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{144}}{{13}} = 0\)
c) Để \(N{F_1} = 2N{F_2} \Leftrightarrow \left| {a + e{x_N}} \right| = 2\left| {a – e{x_N}} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + e{x_N} = 2\left( {a – e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{a}{{3e}} = \frac{{48}}{{13}} < a\;(L)\\a + e{x_N} = – 2\left( {a – e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{{3a}}{e} = \frac{{432}}{{13}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_N} = \pm \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}\end{array}\)
Vậy \(N\left( {\frac{{432}}{{13}};\frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)\) hoặc \(N\left( {\frac{{432}}{{13}}; – \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)\)
Giải bài 2 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{36}}{5}\).
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết
Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 20 \Leftrightarrow c = 10\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{36}}{5} \Rightarrow a = 6\)
Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} – {a^2}} = 8\)
Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{36}} – \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
Giải bài 3 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Cho đường tròn (C) tâm \({F_1}\), bán kính r và một điểm \({F_2}\) thỏa mãn \({F_1}{F_2} = 4r\).
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với \((C)\) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).
Lời giải chi tiết
a) Xét đường tròn \((M,R)\) đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với \((C)\)
Ta có: \(M{F_1} = R + r;M{F_2} = R \Rightarrow M{F_1} – M{F_2} = r\)
\( \Rightarrow M \in \) hypebol (H) có \(2c = 4r\) và \(2a = r\)
b) Ta có: \({b^2} = {a^2} – {c^2} = 4{r^2} – {\left( {\frac{r}{2}} \right)^2} = \frac{{15{r^2}}}{4}\)
Phương trình chính tắc của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{{{r^2}}}{4}}} – \frac{{{y^2}}}{{\frac{{15{r^2}}}{4}}} = 1\)
Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2r}}{{\frac{r}{2}}} = 4\)
Giải bài 4 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600km, vận tốc sóng vô tuyến là 300 000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({F_1}{F_2} = 2c = 600 \Leftrightarrow c = 300\)
Gọi t là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ một trạm, suy ra \(t + 0,0012\) là thời gian tàu nhận được tín hiệu từ trạm còn lại.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2a = \left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 300000.(t + 0,0012) – 300000.t = 360\\ \Leftrightarrow a = 180\end{array}\)
Suy ra \({b^2} = {c^2} – {a^2} = {300^2} – {180^2} = 57600\)
Vậy (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{32400}} – \frac{{{y^2}}}{{57600}} = 1\)
Trả lời