Giải bài tập Bài tập cuối chương 4 – Toán 10 Cánh diều
Giải bài tập Bài 1 trang 99 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Cho tam giác ABC có \(AB = 3,AC = 4,\widehat {BAC} = {120^o}.\) Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B.
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp
c) Diện tích của tam giác
d) Độ dài đường cao xuất phát từ A
e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \) với M là trung điểm của BC.
Phương pháp giải
+) Tính BC bằng công thức: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.\cos A\)
+) Áp dụng định lí sin để tính góc B và R: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R\)
+) Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}AC.AB.\sin A\)
+) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng công thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {3^2} + {4^2} – 2.3.4.\cos {120^o}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 37\\ \Leftrightarrow BC \approx 6\end{array}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R\\ \Rightarrow \sin B = \frac{{AC.\sin A}}{{BC}} = \frac{{4.\sin {{120}^o}}}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \widehat B \approx {35^o}\end{array}\)
b) \(R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{6}{{2.\sin {{120}^o}}} = 2\sqrt 3 \)
c) Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}4.3.\sin {120^o} = 3\sqrt 3 .\)
d) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A.
Ta có: \(S = \frac{1}{2}AH.BC\)
\( \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.3\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3 \)
e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.4.\cos (\widehat {BAC}) = 12.\cos {120^o} = – 6.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) (do M là trung điểm BC)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )\\ = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} – A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {{4^2} – {3^2}} \right) = \frac{7}{2}.\end{array}\)
Giải bài tập Bài 2 trang 99 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
\(A = {(\sin {20^o} + \sin {70^o})^2} + {(\cos {20^o} + \cos {110^o})^2}\)
\(B = \tan {20^o} + \cot {20^o} + \tan {110^o} + \cot {110^o}.\)
Phương pháp giải
+) Giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau:
\(\sin {70^o} = \cos {20^o};\;\cos {70^o} = \sin {20^o};\tan {70^o} = \cot {20^o};\;\cot {70^o} = \tan {20^o}.\)
+) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:
\(\tan {110^o} = – \tan {70^o};\;\cot {110^o} = – \cot {70^o}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\sin {70^o} = \cos {20^o};\;\cos {110^o} = – \cos {70^o} = – \sin {20^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {(\sin {20^o} + \cos {20^o})^2} + {(\cos {20^o} – \sin {20^o})^2}\\ = ({\sin ^2}{20^o} + {\cos ^2}{20^o} + 2\sin {20^o}\cos {20^o}) + ({\cos ^2}{20^o} + {\sin ^2}{20^o} – 2\sin {20^o}\cos {20^o})\\ = 2({\sin ^2}{20^o} + {\cos ^2}{20^o})\\ = 2\end{array}\)
Ta có: \(\tan {110^o} = – \tan {70^o} = – \cot {20^o};\;\cot {110^o} = – \cot {70^o} = – \tan {20^o}.\)
\( \Rightarrow B = \tan {20^o} + \cot {20^o} + ( – \cot {20^o}) + ( – \tan {20^o}) = 0\)
Giải bài tập Bài 3 trang 99 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.
Ban Hoài vẽ góc xOy và đó bạn Đông làm thế nào có thể biết được số đo của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:
– Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB = 2 cm.
– Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm.
Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được \(\cos \widehat {xOy}\) từ đó suy ra độ lớn góc xOy.
Em hãy cho biết số đo góc xOy ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phương pháp giải
Tính góc xOy bằng công thức: \(\cos O = \frac{{O{A^2} + O{B^2} – A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB, ta có:
\(\begin{array}{l}\cos O = \frac{{O{A^2} + O{B^2} – A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{{2^2} + {2^2} – 3,{1^2}}}{{2.2.2}} \approx – 0,2\\ \Rightarrow \widehat {xOy} \approx {102^o}\end{array}\)
Giải bài tập Bài 4 trang 99 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và B đến C, người ta làm như sau:
– Đo góc BAC được \({60^o}\), đo góc ABC được \({45^o}\);
– Đo khoảng cách AB được 1 200 m.
Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phương pháp giải
Tính AB, AC bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\widehat C = {180^o} – {60^o} – {45^o} = {75^o}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{\sin B.AB}}{{\sin C}}\\BC = \frac{{\sin A.AB}}{{\sin C}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{\sin {{45}^o}.1200}}{{\sin {{75}^o}}} \approx 878\\BC = \frac{{\sin {{60}^o}.1200}}{{\sin {{75}^o}}} \approx 1076\end{array} \right.\)
Vậy AC = 878 m, BC = 1076 m.
Giải bài tập Bài 5 trang 99 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song với nhau.)
Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng \(\alpha = {35^o}\)so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiết tục đo được góc nghiêng \(\beta = {65^o}\) so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 71). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phương pháp giải
+) Độ rộng của khúc sông là độ dài đường cao hạ từ C xuống AB.
+) Tính AC bằng cách áp dụng định lí sin:\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\widehat C = {65^o} – {35^o} = {30^o}\)(tính chất góc ngoài)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}}\)
\( \Leftrightarrow AC = \frac{{50.\sin ({{180}^o} – {{65}^o})}}{{\sin {{30}^o}}} \approx 90,63.\)
Độ rộng của khúc sông là: \(AC.\sin A = 90,63.\sin {35^o} \approx 52\;(m)\)
Giải bài tập Bài 6 trang 100 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN, các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 72). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, \(\widehat {MON} = {135^o}.\)
Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phương pháp giải
Tính MN bằng định lí cosin: \(M{N^2} = M{O^2} + O{N^2} – 2.OM.ON.\cos MON\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin cho tam giác MON, ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = M{O^2} + O{N^2} – 2.OM.ON.\cos MON\\ \Rightarrow M{N^2} = {200^2} + {500^2} – 2.200.500.\cos {135^o}\\ \Rightarrow M{N^2} \approx 431421\\ \Rightarrow MN \approx 657\;(m)\end{array}\)
Giải bài tập Bài 7 trang 100 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Chứng minh:
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AE} \) với E là điểm bất kì.
b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {IN} = 2\overrightarrow {MN} \) với M, N là hai điểm bất kì.
c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} – 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {NG} \) với M, N là hai điểm bất kì.
Phương pháp giải
+) Quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) nếu ABCD là hình bình hành.
+) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với M bất kì.
+) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với M bất kì.
Hướng dẫn giải
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Với E là điểm bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AE} \)
b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
Với hai điểm bất kì M, N ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {IN} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IN} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IN} } \right) = 2\overrightarrow {MN} .\)
c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Với hai điểm bất kì M, N ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} – 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MG} – 3\overrightarrow {MN} = 3\left( {\overrightarrow {MG} – \overrightarrow {MN} } \right) = 3\overrightarrow {NG} \).
Giải bài tập Bài 8 trang 100 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, \(\widehat {BAD} = {60^o}\) (Hình 73).
a) Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} .\)
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} .\)
c) Tính độ dài các đường chéo \(BD,AC.\)
Phương pháp giải
+) ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
+) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \) bằng công thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} )\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\) (tính chất phân phối)
+) Tính BD, AC bởi định lí cosin: \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.\cos A\)
Hướng dẫn giải
a) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 4.6.\cos \widehat {BAD} = 24.\cos {60^o} = 12.\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {4^2} + 12 = 28.\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} = (\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AD} ^2} – {\overrightarrow {AB} ^2} = {6^2} – {4^2} = 20.\end{array}\)
c) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABD ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.\cos A\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {4^2} + {6^2} – 2.4.6.\cos {60^o} = 28\\ \Leftrightarrow BD = 2\sqrt 7 .\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.BC.\cos B\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {4^2} + {6^2} – 2.4.6.\cos {120^o} = 76\\ \Leftrightarrow AC = 2\sqrt {19} .\end{array}\)
Giải bài tập Bài 9 trang 100 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc \((\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ) = \alpha \) làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực \(\overrightarrow F \) làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) làm cho vật di chuyển).
Phương pháp giải
+) OACB là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
+) Tính cường độ của hợp lực \(\overrightarrow F \) bằng định lí cosin: \(O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} – 2.OA.AC.\cos A\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} \)
Khi đó: Hợp lực \(\overrightarrow F \) là \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).
Áp dụng định lí cosin cho tam giác OAC, ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} – 2.OA.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} – 2.OA.AC.\cos ({180^o} – \alpha )\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} – 2.\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos ({{180}^o} – \alpha )} \end{array}\)
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 4.6.\cos \widehat {BAD} = 24.\cos {60^o} = 12.\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {4^2} + 12 = 28.\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} = (\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AD} ^2} – {\overrightarrow {AB} ^2} = {6^2} – {4^2} = 20.\end{array}\)
c) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABD ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.\cos A\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {4^2} + {6^2} – 2.4.6.\cos {60^o} = 28\\ \Leftrightarrow BD = 2\sqrt 7 .\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.BC.\cos B\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {4^2} + {6^2} – 2.4.6.\cos {120^o} = 76\\ \Leftrightarrow AC = 2\sqrt {19} .\end{array}\)
Để lại một bình luận