Bài tập 1 trang 71 SGK Hình học 11
Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a,b,c,d song song với nhau và không nằm trên \((\alpha )\). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ tùy ý:
a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).
b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Câu a:
Ta có:
\(\left.\begin{matrix} a // b\\ AD // BC\\ a\cap AD= A \end{matrix}\right\}\Rightarrow (a,d) // (b, c)\)
Tương tự ta có: (a, b) // (c, d).
Vì hai mặt phẳng (a, b) và (c, d) song song với nhau nên mp(A’B’C) cắt 2 mặt phẳng này lần lượt theo 2 giao tuyến A’B’ và C’D’ song song với nhau.
⇒ D’ là giao điểm của đường thẳng qua C’ và song song với A’B’.
Câu b:
Theo câu a) ta có:
A’B’ // C’D’
Tương tự vì (a, b) // (c, d) ⇒ A’D’ // B’C’
Vậy tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
***********************
Bài tập 2 trang 71 SGK Hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’)
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M)
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’
Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
Câu a:
Ta có
(ABC) // (A’B’C’) ⇒ mp(AA’M’M) cắt hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) theo hai giao tuyến AM và A’M’.
\(\Rightarrow AM // A’M’\)
Câu b:
Trên mp(AA’M’M), gọi I là giao điểm của AM’ và A’M
Vì \(AM’\subset (AB’C’)\Rightarrow I\) là giao điểm của A’M và mặt phẳng (AB’C’)
Câu c:
Gọi O là giao điểm của AB’ và A’B (trên mặt phẳng (ABB’A’))
Khi đó: O và C’ là 2 điểm chung của (AB’C’) và (BA’C’)
\(\Rightarrow (AB’C’)\cap (BA’C’)=OC’\)
⇒ giao tuyến d của 2 mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’) là đường thẳng OC’.
Câu d:
Trong mp(AM’M) gọi G là giao điểm của OC’ và mp (AM’M)
⇒ G là giao điểm của đường thẳng OC’ và mặt phẳng (AM’M)
⇒ G là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (AM’M)
Vì C’O và AM’ là trung tuyến của tam giác AB’C’
⇒ G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
****************************
Bài tập 3 trang 71 SGK Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \({G_{1}, {G_{2}}^{}}^{}\) của hai tam giác BDA’ và B’D’C
c) Chứng minh \({G_{1}, {G_{2}}^{}}^{}\) chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 3
Câu a:
Ta có:
BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên:
BD // B’D’ và DA’ // B’C
⇒ Hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song với nhau từng đôi một.
⇒ (BDA’) // (B’D’C)
Câu b:
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
Trong mặt phẳng (AA’C’C), gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của AC’ với A’O và O’C.
Ta chứng minh G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và tam giác CB’D’.
Thật vậy ta có: \(\Delta G_1OA\sim G_1A’C’\) (vì AC // A’C’)
\(\frac{G_1O}{G_1A’}=\frac{OA}{A’C’}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AG_1}{A’O}=\frac{2}{3}\Rightarrow G_1\) là trọng tâm của tam giác A’BD.
Tương tự G2 là trọng tâm của \(\Delta CB’D’.\)
Vậy AC’ đi qua G1, G2 là trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
Câu c:
Theo câu b) ta có:
\(\frac{AG_1}{G_1C’}=\frac{AO}{A’C’}=\frac{1}{2} \ (vi \ \Delta G_1OA\sim \Delta G_1A’C’)\)
\(\Rightarrow AG_1=\frac{1}{3}AC’ \ (1)\)
Tương tự:
\(\frac{C’G_2}{G_2A}=\frac{C’O’}{CA}=\frac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_2C’O’ \sim \Delta G_2AC\))
\(\Rightarrow C’G_2=\frac{1}{3}AC'(2)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AG_1=G_1G_2=G_2C’\)
Vậy \(G_1, G_2\) chia đoạn AC’ thành 3 phần bằng nhau.
Câu d:
Ta có:
\(O\in AC\Rightarrow O\in (ACC’A’)\)
\(I \in (ACC’A’)\) và \(A’ \in (ACC’A’)\)
⇒ Hai mặt phẳng (A’IO) và (ACC’A’) trùng nhau.
⇒ Thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp là hình bình hành ACC’A’.
******************
Bài tập 4 trang 71 SGK Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi \({A_{1}}^{}\) là trung điểm của cạnh SA và \({A_{2}}^{}\) là trung điểm của đoạn \(A{A_{1}}^{}\). Gọi \((\alpha )\) và \((\beta )\)là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua \({A_{1}}^{}\), \({A_{2}}^{}\). Mặt phẳng \((\alpha )\) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \({B_{1}, {C_{1}, {D_{1}}^{}}^{}}^{}\). Mặt phẳng \((\beta )\) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \({B_{2}, {C_{2},{D_{2}}^{}}^{}}^{}\). Chứng minh:
a) \({B_{1}, {C_{1}, {D_{1}}^{}}^{}}^{}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD
b) \({B_{1}{B_{2}} ={B_{2}B, {C_{1}{C_{2}={C_{2}C, {D_{1}{D_{2}={D_{2}D}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{} ^{}}^{}\)
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
Câu a:
Vì mặt phẳng (SAB) cắt hai mặt phẳng song song \((\alpha )\) và (ABCD) theo hai giao tuyến lần lượt A1B1 và AB.
⇒ A1B1 // AB.
⇒ A1B1 là đường trung bình của tam giác SAB.
⇒ B1 là trung điểm của SB.
Tương tự ta có:
B1C1 là đường trung bình của tam giác SBC.
⇒ C1 là trung bình của SC.
C1D1 là đường trung bình của tam giác SCD.
⇒ D1 là trung điểm của SD.
Câu b:
Vì mp(SAB) cắt hai mặt phẳng song song \((\beta )\) và (ABCD) theo 2 giao tuyến lần lượt là A2B2 và AB.
⇒ A2B2 // AB
⇒ A2B2 là trung bình của hình thang A1B1BA
⇒ B1B2 = B2B
Tương tự: B2C2 là đường trung bình của hình thang B1C1CB
⇒ C1C2 = C2C
C2D2 là đường trung bình của hình thang C1D1DC
⇒ D1D2 = D2D
Câu c:
Có 2 hình chóp cụt có đáy là tứ giác ABCD đó là: A1B1C1D1.ABCD và A2B2C2D2.ABCD.
Bài 4 Hai mặt phẳng song song – hình học 11
Trả lời