1. Giải bài 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải phương trình: \(\small sin^2x – sinx = 0\)
Phương pháp giải
Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x – \sin x = 0\\\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x – 1 = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = k\pi \) hoặc \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
2. Giải bài 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) \(\small 2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\)
b) \(\small 2sin2x + \sqrt{2}sin4x = 0\)
Phương pháp giải
a) Đặt \(t=cosx\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos.
b) Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\)
Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.
Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos.
Hướng dẫn giải
Câu a: Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình:
\(\begin{array}{l}2{t^2} – 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\+ )\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy \(x = {\rm{ }}k2\pi \) hoặc \(x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \) \((k\in\mathbb{Z})\).
Câu b: Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,2\sin 2x + \sqrt 2 \sin 4x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin 2x\cos 2x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {1 + \sqrt 2 \cos 2x} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\1 + \sqrt 2 \cos 2x = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{k\pi }}{2}\) hoặc \(x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).
3. Giải bài 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) \(sin^2(\frac{x}{2}) – 2cos(\frac{x}{2}) + 2 = 0\)
b) \(\small 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0\)
c) \(\small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\)
d) \(\small tanx -2cotx + 1 = 0\)
Phương pháp giải
- Sử dụng công thức lượng giác cơ bản đã học
- Đặt ẩn phụ \(t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { – 1;1} \right]} \right)\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
- Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
\(\begin{array}{l}
\,\,{\sin ^2}\frac{x}{2} – 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 1 – {\cos ^2}\frac{x}{2} – 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} – 3 = 0
\end{array}\)
Đặt \(t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { – 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\) thì phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}{t^2} + 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = – 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\Khi\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k2\pi\\ \Leftrightarrow x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Câu b: Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,8{\cos ^2}x + 2\sin x – 7 = 0\\\Leftrightarrow 8\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x – 7 = 0\\\Leftrightarrow 8{\sin ^2}x – 2\sin x – 1 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]\) thì phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}8{t^2} – 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = – \frac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = – \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = – \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( { – \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi – \arcsin \left( { – \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Câu c: ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành
\(2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = – 1 \hfill \cr
t = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = – 1 \hfill \cr
\tan x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { – {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z}) ™\)
Câu d: ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\tan x – 2\cot x + 1 = 0\\\Leftrightarrow \tan x – \frac{2}{{\tan x}} + 1 = 0\\\Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x – 2 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}{t^2} + t – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – 2\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = – 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { – 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) ™\end{array}\)
4. Giải bài 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) \(\small 2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0\)
b) \(\small 3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
c) \(\small 3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
d) \(\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4\)
Phương pháp giải
Xét phương trình: \(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d \)
Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không
Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a – d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c – d = 0\) \(\left( {1′} \right)\)
Đặt \(t = \tan x\)
Phương trình \(\left( {1′} \right)\) trở thành: \((a – d){t^2} + bt + c – d = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\).
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:
\(\Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ \\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= arctan\left (-\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix} , k\in \mathbb{Z}\)
Câu b: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:
\(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2\), nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: \(3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x)\)
\(\Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0\)
Đặt t = tanx
Ta có phương trình \(t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=3 \end{matrix}\)
\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\).
\(t=3\Rightarrow tanx=3\Rightarrow x= arctan(3)+k \pi, (k\in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x= arctan(3)+k \pi \end{matrix} , (k\in \mathbb{Z})\)
Câu c: \(sin^2x+sin2x-2cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}\) (3)
\(cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) không là nghiệm của (3)
\(cosx\neq 0\), chia hai vế của (3) cho \(cos^2x\), ta được:
\(\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{2sinx}{cosx}-2=\frac{1}{2cos^2x}\Rightarrow tan^2x+2tanx-2=\frac{1}{2}(1+tan^2x)\)
\(\Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x\)
\(\Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0\)
Đặt t = tanx, ta có phương trình
\(t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix}\)
\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)
\(t=-5 \Rightarrow tanx=-5\Rightarrow x=arctan(-5)+k\pi, k\in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)
Câu d: \(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)
\(\Leftrightarrow 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0\)
\(\Leftrightarrow 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx – 4+4cos^2x+4= 0\)
\(\Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=2\)
\(\Leftrightarrow 6cosx(cosx – \sqrt{3}sinx) = 0\)
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ \\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\\ \\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)
5. Giải bài 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) \(\small cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
b) \(\small 3sin3x – 4cos3x = 5\)
c) \(\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0\)
d) \(\small 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0\)
Phương pháp giải
Xét phương trình: \(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x – \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Hướng dẫn giải
Câu a: \(\cos x – \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}.\cos x – \cos \frac{\pi }{6}.\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} – x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} – x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = – \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
Câu b: \(3\sin 3x – 4\cos 3x = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x – \frac{4}{5}\cos 3x = 1.\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{3}{5},\,\sin \alpha = \frac{4}{5},\) suy ra:
\(\sin (3x – \alpha ) = 1 \Leftrightarrow 3x – \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\alpha }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)
Câu c
\(\begin{array}{l}2\sin x + 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} – \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
Câu d
\(\begin{array}{l}5\cos 2x + 12\sin 2x – 13 = 0\\ \Leftrightarrow 12\sin 2x + 5\cos 2x = 13\\ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}\sin 2x + \frac{5}{{13}}\cos 2x = 1\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \sin (2x + \alpha ) = 1\) \(\left( {\sin \alpha = \frac{5}{{13}};\,\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} – \frac{\alpha }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
6. Giải bài 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải phương trình
a) \(\small tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1\)
b) \(\small tanx + tan(x + \frac{\pi }{4}) = 1\)
Phương pháp giải
Câu a: Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) và \(\cos (a + b) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b\) để biến đổi phương trình.
Câu b: Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\); \(\sin (a + b) = \sin a.\cos b + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} .\sin b\) và \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a – b)} \right]\) để biến đổi phương trình
Hướng dẫn giải
Câu a: Với điều kiện
\(\left\{\begin{matrix} 2x+1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi\\ \\ 3x-1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}\) hay \(\left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{2}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{3} \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1\)
(1) \(\Leftrightarrow \frac{sin(2x+1)sin(3x-1)}{cos(2x+1)cos(2x-1)}=1\)
\( \Rightarrow \cos(2x+1) \cos(3x-1)-\sin(2x+1) \sin(3x-1) =0\)
\(\Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)\Leftrightarrow cos5x=0\)
\(\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}.\)
Câu b: Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} cosx\neq 0\\ cos(x+\frac{\pi }{4})\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Khi đó \(tanx+tan\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=1\)
\(\Leftrightarrow sinx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+cosx.sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )= cosx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )\)
\(\Leftrightarrow sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{2} \left [ cos\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) +cos \left ( – \frac{\pi }{4}\right )\right ]\)
\(\Leftrightarrow 2sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )-cos\left (2 x+\frac{\pi }{4} \right )= \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) -\frac{1}{\sqrt{5}}cos \left (2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}\)
\(\Leftrightarrow sin\left (2x+\frac{\pi }{4} -\alpha \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi\\ \\ 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = \pi – arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x= \frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{8}+ \frac{1}{2}arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi\\ \\ x = \frac{\alpha }{2}+\frac{3\pi }{8}- \frac{1}{2} arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi \end{matrix}, k\notin \mathbb{Z}\)
Trả lời