Giải bài tập Bài 25: Nhị thức Newton (Toán 10 – Kết nối)

Giải bài tập Bài 25: Nhị thức Newton (Toán 10 – SGK Kết nối)
——————–

Giải bài 8.12 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Khai triển các đa thức:

a) (x -3)⁴

b) (3x – 2y)⁴

c) (x+5)⁴ + (x – 5)⁴

d) (x – 2y)⁵

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) (x -3)⁴ = x⁴ + 4.x³.(-3) +6.x².(-3)² +4.x.(-3)³ + (-3)⁴

= x⁴ -12.x³ +54.x² – 108.x +81.

b) (3x – 2y)⁴ = (3x)⁴ + 4.(3x)³(2y) + 6.(3x)².(2y)² + 4.(3x).(2y)³ + (2y)⁴

= 81x⁴ + 216x³y + 216x²y² + 96xy³ + 16y⁴

c) (x+5)⁴ + (x – 5)⁴  = (x⁵+ 5x⁴.5 + 10x³.5² + 10x².5³ +5x.5⁴+ 5⁵) + (x⁵+ 5x⁴.(-5) + 10x³.(-5)² + 10x².(-5)³ + 5x.(-5)⁴+ (-5)⁵)

= 2x⁵ + 500x³ + 6250x

d) (x – 2y)⁵ = x⁵ +5x⁴(2y) + 10x³(2y)² + 10x²(2y)³ +5x(2y)⁴ + (2y)⁵

= x⁵ +10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y⁵.

Giải bài 8.13 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({\left( {3x – 1} \right)^5}\)

Phương pháp giải

Tìm số hạng chứa x⁴

Lời giải chi tiết

Số hạng chứa x⁴ là: 5.(3x)⁴(-1) = -405x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển là: -405.

Giải bài 8.14 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Biểu diễn \((3+\sqrt{2})^{5}-(3-\sqrt{2})^{5}\) dưới dạng \(a+b\sqrt{2}\) với a, b là các số nguyên.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
{(3 + \sqrt 2 )^5} = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2  + {10.3^3}.{(\sqrt 2 )^2} + {10.3^2}.{(\sqrt 2 )^3} + 5.3.{(\sqrt 2 )^4} + {(\sqrt 2 )^5}{(3 – \sqrt 2 )^5}\\
= {3^5} – {5.3^4}.\sqrt 2  + {10.3^3}.{(\sqrt 2 )^2} – {10.3^2}.{(\sqrt 2 )^3} + 5.3.{(\sqrt 2 )^4} – {(\sqrt 2 )^5}\\
\Rightarrow {(3 + \sqrt 2 )^5} – {(3 – \sqrt 2 )^5} = 810\sqrt 2  + 360\sqrt 2  + 8\sqrt 2  = 1178\sqrt 2
\end{array}\)

Giải bài 8.15 trang 75 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵

b) Dùng máy tinh cầm tay tính giá trị của 1,02⁵và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phương pháp giải

Các công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) với \(n \in \left\{ {4;5} \right\}\), là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.

Lời giải chi tiết

a) 1,02⁵ =(1 +0,02)^{5 \(}\approx \) 1⁵ + 5.1⁴.0,02 = 1,1

b)  Ta có: |1,02⁵ – 1,1| < 0,0005

Sai số tuyệt đối là 0,0005.

Giải bài 8.16 trang 75 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là \(P=800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{5}\) (nghìn người).

b) Với r = 1,5

Phương pháp giải

Tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm là: \(P_{1}=800 + \frac{r}{100}.800\)

Tính số dân của tỉnh đó sau 2 năm là: \(P_{2}=P_{1}+ \frac{r}{100}.P_{1}\)

Suy ra số dân của tỉnh đó sau 5 năm

Lời giải chi tiết

a) Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là: \(P_{1}=800 + \frac{r}{100}.800 = 800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )\) (nghìn người).

Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là: \(P_{2}=P_{1}+ \frac{r}{100}.P_{1} = P_{1}.(1+ \frac{r}{100}) = 800\left ( 1+\frac{r}{100} \right ).(1+ \frac{r}{100}) = 800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}\)  (nghìn người).

Suy ra số dân của tỉnh đó sau 5 năm là: \(P_{5}= 800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{5}\)  (nghìn người).

b) (1 + 0,015)⁵ \(\approx 1^{5}+5.1^{4}.0,015=1,075\)

Số dân của tỉnh đó sau 5 năm xấp xỉ là: 800.1,075 = 860 nghìn người.