Giải bài tập Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Toán 10 – Kết nối)

Giải bài tập Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Toán 10 – SGK Kết nối) – KNTT
——————

Giải bài 8.6 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Phương pháp giải

Sử dụng công thức hoán vị: \(P_n = n(n – 1)(n – 2)…2 . 1 = n!\)

Lời giải chi tiết

Sắp xếp 10 bức tranh thành 1 hàng là hoán vị của 10 phần tử, nên số cách sắp xếp là: 10! = 3 628 800 cách.

Giải bài 8.7 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Phương pháp giải

Sử dụng công thức chỉnh hợp: \(A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n – k)!} \) \((1 ≤ k ≤ n)\)

Lời giải chi tiết

Lập 3 chữ số tự nhiên từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần từ, nên số cách lập là \(A_{5}^{3}= 60\) cách.

Tuy nhiên, số có 3 chữ số thì hàng trăm phải khác 0, các số có dạng \(\overline{0ab}\), thì số cách lập là: \(A_{4}^{2}= 12\) cách.

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là: 60 – 12 = 48 số.

Giải bài 8.8 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổ hợp hợp: \(C_n^k  = \frac{n!}{k! (n – k)!}\) = \(\frac{A^k_{n}}{k!}\), (\(0 ≤ k ≤ n\))

Lời giải chi tiết

Có 99 số nguyên dương nhỏ hơn 100.

+) Chọn hai số nguyên dương nhỏ hơn 100, là tổ hợp chập 2 của 99 phần tử, nên số cách chọn là: \(C_{99}^{2}= 4851\) cách.

+) Chọn ba số nguyên dương nhỏ hơn 100, là tổ hợp chập 3 của 99 phần tử, nên số cách chọn là: \(C_{99}^{3}= 156849\) cách.

Giải bài 8.9 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Phương pháp giải

– Sử dụng công thức chỉnh hợp tìm:

+ Số cách chọn 1 viên bi xanh

+ Số cách chọn 1 viên bi đỏ

– Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

Để chọn ra 2 viên bị khác màu thì chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.

Số cách chọn 1 viên bi xanh là: \(C_{5}^{1}\) =5 cách.

Số cách chọn 1 viên bi đỏ là: \(C_{7}^{1}\) = 7 cách.

Vậy số cách chọn 2 viên bi khác màu là: 5.7 = 35 cách.

Giải bài 8.10 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Phương pháp giải

a) Chọn 4 bạn nam trong 10 bạn nam là tổ hợp chấp 4 của 10 phần tử

b) Chọn 4 bạn không phân biệt nam nữ từ 17 bạn là tổ hợp chấp 4 của 17 phần tử

c) Số cách chọn 2 bạn nam trong 10 nam

Số cách chọn 2 bạn nữ trong 7 nữ

Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

a) Số cách chọn 4 bạn nam là: \(C_{10}^{4}\) = 210 cách.

b) Số cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ là: \(C_{17}^{4}\) = 2380 cách.

c) Chọn 2 bạn nam trong 10 nam, có: \(C_{10}^{2}\) = 45 cách.

Chọn 2 bạn nữ trong 7 nữ, có: \(C_{7}^{2}\) = 21 cách.

Vậy số cách chọn 4 bạn, có 2 nam, 2 nữ là: 45.21 = 945 cách.

Giải bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Phương pháp giải

– Số tự nhiên cần lập có dạng \(\overline{abcd}\) và \(a, b,c, d\in A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}, a\neq 0, a\neq b\neq c\neq d\).

+) Tìm số cách chọn cho chữ số d để \(\overline{abcd}\) chia hết cho 5

+) Tìm số cách chọn cho chữ số c.

+) Chọn 3 số a, b, c và sắp thứ tự từ tập A\{d}

+) Tìm các số có dạng: \(\overline{0bc5}\)

+ Chọn b, c và sắp thứ tự từ tập A\{0; 5}

+ Suy ra kết quả cần tìm

Lời giải chi tiết

Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: \(\overline{abcd}\) và \(a, b,c, d\in A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}, a\neq 0, a\neq b\neq c\neq d\).

Để \(\overline{abcd}\) chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}.

Chọn c có 2 cách,

Chọn 3 số a, b, c và sắp thứ tự từ tập A\{d}, nên số cách: \(A_{9}^{3}\) = 504 cách.

Suy ra số cách lập là: 504.2 = 1008 cách.

+ Ta tìm các số có dạng: \(\overline{0bc5}\),

Chọn b, c và sắp thứ tự từ tập A\{0; 5}, số cách là: \(A_{8}^{2}\) = 56 cách.

Vậy số các số tự nhiên chia hết cho 5 mà có bốn chữ số khác nhau là: 1008 – 56 = 952 số.