Giải bài tập Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai (Kết nối)
Giải bài 6.20 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{3x^{2}-4x-1}=\sqrt{2x^{2}-4x+3}\)
b) \(\sqrt{x^{2}+2x-3}=\sqrt{-2x^{2}+5}\)
c) \(\sqrt{2x^{2}+3x-3}=\sqrt{-x^{2}-x+1}\)
d) \(\sqrt{-x^{2}+5x-4}=\sqrt{-2x^{2}+4x+3}\)
Giải bài 6.20 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{3x^{2}-4x-1}=\sqrt{2x^{2}-4x+3}\)
b) \(\sqrt{x^{2}+2x-3}=\sqrt{-2x^{2}+5}\)
c) \(\sqrt{2x^{2}+3x-3}=\sqrt{-x^{2}-x+1}\)
d) \(\sqrt{-x^{2}+5x-4}=\sqrt{-2x^{2}+4x+3}\)
Phương pháp giải
Đề giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \), ta thực hiện như sau:
– Bình phương hai về và giải phương trình nhận được;
– Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết
a) \(\sqrt{3x^{2}-4x-1}=\sqrt{2x^{2}-4x+3}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(3x^{2}-4x-1 = 2x^{2}-4x+3\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-4=0\)
\(\Leftrightarrow\) x=2 hoặc x = -2.
Thử lại giá trị của x: đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm là x=2 hoặc x = -2.
b) \(\sqrt{x^{2}+2x-3}=\sqrt{-2x^{2}+5}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(x^{2}+2x-3=-2x^{2}+5\)
\(\Leftrightarrow 3x^{2}+2x-8=0\)
\(\Leftrightarrow\) x = -2 hoặc \(x= \frac{4}{3}\)
Thử lại giá trị của x:
+) x = -2 không thỏa mãn phương trình,
+) \(x= \frac{4}{3}\) thỏa mãn phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x= \frac{4}{3}\).
c) \(\sqrt{2x^{2}+3x-3}=\sqrt{-x^{2}-x+1}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(2x^{2}+3x-3 = -x^{2}-x+1\)
\(\Leftrightarrow 3x^{2}+4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\) x = -2 hoặc \(x= \frac{2}{3}\)
Thử lại giá trị của x:
+) x = -2 không thỏa mãn phương trình,
+) \(x= \frac{2}{3}\) không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) \(\sqrt{-x^{2}+5x-4}=\sqrt{-2x^{2}+4x+3}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(-x^{2}+5x-4 = -2x^{2}+4x+3\)
\(\Leftrightarrow x^{2}+x-6=0\)
\(\Leftrightarrow\) x = 2 hoặc x= -3
Thử lại giá trị của x:
+) x = 2 thỏa mãn phương trình,
+) x =-3 không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Giải bài 6.21 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{6x^{2}+13x+13}=2+4\)
b) \(\sqrt{2x^{2}+5x+3}=-3-x\)
c) \(\sqrt{3x^{2}-17x+23}=x-3\)
d) \(\sqrt{-x^{2}+2x+4}=x-2\)
Giải bài 6.21 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{6x^{2}+13x+13}=2+4\)
b) \(\sqrt{2x^{2}+5x+3}=-3-x\)
c) \(\sqrt{3x^{2}-17x+23}=x-3\)
d) \(\sqrt{-x^{2}+2x+4}=x-2\)
Phương pháp giải
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau:
– Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;
– Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết
a) \(\sqrt{6x^{2}+13x+13}=2x+4\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(6x^{2}+13x+13 = 4x^{2}+16x+16\)
\(\Leftrightarrow 2x^{2}-3x-3 = 0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\) hoặc \(x=\frac{3-\sqrt{33}}{4}\)
Thử lại giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\) hoặc \(x=\frac{3-\sqrt{33}}{4}\)
b) \(\sqrt{2x^{2}+5x+3}=-3-x\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(2x^{2}+5x+3 = 9+6x+x^{2}\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-x-6 = 0\)
\(\Leftrightarrow\) x=3 hoặc x=-2
Thử lại giá trị đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) \(\sqrt{3x^{2}-17x+23}=x-3\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(3x^{2}-17x+23 = x^{2}-6x+9\)
\(\Leftrightarrow 2x^{2}-11x+14 = 0\)
\(\Leftrightarrow\) x=2 hoặc \(x=\frac{7}{2}\)
Thử lại các giá trị:
+) x =2 không thỏa mãn
+) \(x=\frac{7}{2}\) thõa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{7}{2}\)
d) \(\sqrt{-x^{2}+2x+4}=x-2\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(-x^{2}+2x+4 = x^{2}-4x+4\)
\(\Leftrightarrow -2x^{2}+6x= 0\)
\(\Leftrightarrow\) x=0 hoặc x=3
Thử lại giá trị:
+) x =0 không thỏa mãn
+) x = 3 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm là x =3.
Giải bài 6.22 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Cho tứ giác ABCD có AB \(\bot \) CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5. Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Giải bài 6.22 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Cho tứ giác ABCD có AB \(\bot \) CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5. Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Phương pháp giải
– Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = \(\sqrt{25-x^{2}}\)
– Xét tam giác BHC vuông tại H có: \(HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}\)
– Từ đó ta có và giải phương trình \((x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}\)
+ Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau:
- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;
- Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
– Suy ra diện tích tam giác HAD là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD\)
– Suy ra diện tích tam giác HBC là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC\)
Lời giải chi tiết
+) Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = \(\sqrt{25-x^{2}}\) (áp dụng định lí Pytago).
+ Xét tam giác BHC vuông tại H có: \(HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}\)
=> \((x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{25-x^{2}}=19-x\)
Bình phương hai vế ta được:
\(16.(25-x^{2}) =361 – 38x +x^{2}\)
\(\Leftrightarrow 17x^{2}-38x-39=0\)
\(\Leftrightarrow\) x = 3 hoặc \(x= \frac{-13}{17}\)
Thử lại phương trình và điều kiện x > 0, giá trị x =3 thỏa mãn.
Vậy AH = x = 3.
+) Diện tích tam giác HAD là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD=6\)
Diện tích tam giác HBC là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC=36\)
Vậy diện tích tứ giác ABCD là: 36 – 6 = 30 (đơn vị diện tích).
Giải bài 6.23 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Giải bài 6.23 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải
Đặt CH = x (x >0)
Ta có: \(AC=\sqrt{x^{2}+2500}\), BH = \(50\sqrt{15}\), BC = BH – CH = \(50\sqrt{15}-x\)
Vì hai bạn gặp nhau tại C, nên thời gian đi từ A đến C bằng thời gian đi từ B đến C, nên ta có phương trình: \(\frac{50\sqrt{15}-x}{15}=\frac{\sqrt{x^{2}+2500}}{5}\)
+ Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau:
- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;
- Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết
Đặt CH = x (x >0)
Ta có: \(AC=\sqrt{x^{2}+50^{2}}=\sqrt{x^{2}+2500}\)
BH = \(\sqrt{200^{2}-50^{2}}=50\sqrt{15}\)
BC = BH – CH = \(50\sqrt{15}-x\)
Vì hai bạn gặp nhau tại C, nên thời gian đi từ A đến C bằng thời gian đi từ B đến C, nên ta có phương trình:
\(\frac{50\sqrt{15}-x}{15}=\frac{\sqrt{x^{2}+2500}}{5}\)
\(\Leftrightarrow 50\sqrt{15}-x=3.\sqrt{x^{2}+2500}\)
Bình phương hai vế được:
\(37500-100\sqrt{15}.x+x^{2}=9.(x^{2}+2500)\)
\(\Leftrightarrow 8x^{2}+100\sqrt{15}.x-15000=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x\approx 25,4\) hoặc \(x\approx -73,8\)
Thử lại phương trình và điều kiện x >0 thì x = 25,4 thỏa mãn.
Vậy vị trí điểm C là cách H 1 khoảng 25,4 m.
Để lại phản hồi