Giải bài tập Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai (Kết nối)

Giải bài tập Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai (Kết nối)

=============

Giải bài 6.15 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(3x^{2}-4x+1\)

b) \(x^{2}+2x+1\)

c) \(-x^{2}+3x-2\)

d) \(-x^{2}+x-1\)

Giải bài 6.15 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(3x^{2}-4x+1\)

b) \(x^{2}+2x+1\)

c) \(-x^{2}+3x-2\)

d) \(-x^{2}+x-1\)

Phương pháp giải

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} – 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) = 3x^{2}-4x+1\), \(\Delta >0, a>0\), có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là 1 và \(\frac{1}{3}\)

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với mọi \(x\in \left ( -\infty ;\frac{1}{3} \right )\cup \left ( 1;+\infty  \right )\) và f(x) < 0 với mọi \(\left ( \frac{1}{3};1 \right )\)

b) \(f(x)=x^{2}+2x+1\), \(\Delta =0, a>0\), có nghiệm kép x = -1.

Vậy f(x) > 0 với mọi \(x \neq  -1\).

c) \(f(x)=-x^{2}+3x-2\), \(\Delta >0, a<0\), có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là 1 và 2.

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) < 0 với mọi \(x\in \left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;+\infty  \right )\) và f(x) > 0 với mọi \(\left ( 1;2 \right )\)

d) \(f(x)=-x^{2}+x-1\), \(\Delta <0, a<0\). Suy ra f(x) luôn âm với mọi số thực x.

Giải bài 6.16 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) \(x^{2}-1\geq 0\)

b) \(x^{2}-2x-1<0\)

c) \(-3x^{2}+12x+10\leq 0\)

d) \(5x^{2}+x+1\geq 0\)

Giải bài 6.16 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) \(x^{2}-1\geq 0\)

b) \(x^{2}-2x-1<0\)

c) \(-3x^{2}+12x+10\leq 0\)

d) \(5x^{2}+x+1\geq 0\)

Phương pháp giải

Sử dụng cách xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để giải bất phương trình.

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} – 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Lời giải chi tiết

a) \(x^{2}-1\) có  \(\Delta >0, a>0\), 2 nghiệm phân biệt lần lượt là -1 và 1.

\(x^{2}-1\geq 0\)  \(\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty;-1  \right )\cup \left ( 1;+\infty  \right )\)

Vậy tập nghiệm là S = \(\left ( -\infty;-1  \right )\cup \left ( 1;+\infty  \right )\)

b) \(x^{2}-2x-1\) có \(\Delta =0, a>0\), nghiệm kép là x = -1, có \(x^{2}-2x-1>0\) với mọi \(x \neq -1\)

Nên bất phương trình \(x^{2}-2x-1<0\) vô nghiệm.

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

c) \(-3x^{2}+12x+10\) có \(\Delta >0, a<0\) 2 nghiệm phân biệt lần lượt là \(\sqrt{\frac{13}{3}}+2\) và \(-\sqrt{\frac{13}{3}}+2\)

\(-3x^{2}+12x+10\leq 0\)  \(\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}}+2 \right ]\cup \left [\sqrt{\frac{13}{3}}+2 ;+\infty  \right )\)

Vậy tập nghiệm là S = \(\left ( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}}+2 \right ]\cup \left [\sqrt{\frac{13}{3}}+2 ;+\infty  \right )\)

d) \(5x^{2}+x+1\) có \(\Delta <0, a>0\) nên \(5x^{2}+x+1 >0\) với mọi số thực x.

Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3\)

Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3\)

Phương pháp giải

Để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0}\\
{\Delta  < 0}
\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3>0\) với mọi  \(x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =(m+1)^{2}-4.(2m+3)<0\\ a=1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^{2}-6m-11<0\)

\(\Leftrightarrow -2\sqrt{5}+3<m<2\sqrt{5}+3\)

Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3\)

Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3\)

Phương pháp giải

Để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a > 0}\\
{\Delta  < 0}
\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(x^{2}+(m+1)x+2m+3>0\) với mọi  \(x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =(m+1)^{2}-4.(2m+3)<0\\ a=1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^{2}-6m-11<0\)

\(\Leftrightarrow -2\sqrt{5}+3<m<2\sqrt{5}+3\)

Giải bài 6.18 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v_Q = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Giải bài 6.18 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v_Q = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Phương pháp giải

Ta có trục Oy thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại điểm ném và gốc thời gian là lúc ném.

Suy ra y = \(v_{o}t-g\frac{t^{2}}{2}=20t+5t^{2}\), tính y khi biết vật cách mặt đất 100m

Giải bất phương trình: \(20t+5t^{2}>220\) tìm số giây để vật đó cách mặt đất không quá 100m

Lời giải chi tiết

Chọn trục Oy thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại điểm ném và gốc thời gian là lúc ném.

có y= \(v_{o}t-g\frac{t^{2}}{2}=20t+5t^{2}\) , với g là gia tốc tự do, lấy g = 10

Nếu vật cách mặt đất 100m thì quãng đường vật đã đi được là y = 320 – 100 = 220 m.

Để vật đó cách mặt đất không quá 100m, thì quãng đường y đi được của vật phải lớn hơn 220.

Ta có bất phương trình: \(20t+5t^{2}>220\)

<=> \(5t^{2}+20t-220>0\)

<=> \(t>-2+4\sqrt{3}\approx 4,93\) hoặc \(t<-2-4\sqrt{3}\approx -8,93\) (loại)

Vậy sau ít nhât 4,93 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100m.

Giải bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Giải bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Phương pháp giải

Biết bán kính đường tròn đường kính AM là \(\frac{x}{2}\), bán kính đường tròn đường kính MB là \(\frac{4-x}{2}\).

Tính diện tích hình tròn đường kính AM(S₁), diện tích hình tròn đường kính MB(S₂), diện tích hình tròn đường kính AB(S).

Từ đó tính diện tích S(x) = S – S₁ – S₂

Lời giải chi tiết

+ AM = x, AB = 4 => MB = 4 -x, nên bán kính đường tròn đường kính AM là \(\frac{x}{2}\), bán kính đường tròn đường kính MB là \(\frac{4-x}{2}\).

+ Diện tích hình tròn đường kính AM là: \(S_{1}=\pi \frac{x^{2}}{4}\).

Diện tích hình tròn đường kính MB là:  \(S_{2}=\pi \frac{(4-x)^{2}}{4}\).

Diện tích hình tròn đường kính AB là: \(S=\pi .16\).

+ Diện tích S(x) = \(\pi .16- \pi \frac{x^{2}}{4}-\pi \frac{(4-x)^{2}}{4}\) = \(\pi  \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}\)

+ Theo đề bài \(S(x) \leq \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})\)

\(\Leftrightarrow \) \(\pi  \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}\leq \frac{1}{2}(\pi \frac{x^{2}}{4} +\pi \frac{(4-x)^{2}}{4})\)

\(\Leftrightarrow \)  \(-2x^{2}+8x+48 \leq \frac{1}{2}(x^{2}+(4-x)^{2}\)

\(\Leftrightarrow \)  \(-2x^{2}+8x+48 \leq x^{2}-x+8\)

\(\Leftrightarrow \)  \(-2,45 \leq x \leq 5,45\)

Mà x > 0 nên ta có: \(0 < x \leq 5,45\)