Giải bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài tập cuối chương IV – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( – 2;1),\,\,B(1;4)\) và \(C(5; – 2).\)

a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)

b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3;3)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (7; – 3)\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác

Xét \(\Delta ABC\) có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{{1 + 4 – 2}}{3} = 1}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác là: \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)

b)     Gọi \(H(x;y)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)

Ta có: \(\overrightarrow {CH}  = (x – 5;y + 2)\) và \(\overrightarrow {BH}  = (x – 1;y – 4)\)

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x – 5} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0}\\{7\left( {x – 1} \right) – 3\left( {y – 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{7x – 3y =  – 5}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{5}}\\{y = \frac{{13}}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)

Gọi \(I(x’;y’)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\frac{2}{5} – x’;\frac{{13}}{5} – y’} \right)\) và \(\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{4}{3} – x’;1 – y’} \right)\)