Giải bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài tập cuối chương IV – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) không có hai cạnh nào song song. Gọi \(E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD.\) Gọi \(K,\,\,L,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AF,\,\,CE,\,\,BF,\,\,DE.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(KLMN\) là một hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KM,\,\,LN.\) Chứng minh rằng \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {FC}  = \left( {\overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {KL}  + \overrightarrow {LE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FK}  + \overrightarrow {KL}  + \overrightarrow {LC} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {KL}  + \left( {\overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {FK} } \right) + \left( {\overrightarrow {LE}  + \overrightarrow {LC} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {KL} \)  (1)

Ta có: \(\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {DF}  = \left( {\overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MF} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {NM}  + \left( {\overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {DN} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MF} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {NM} \)  (2)

Ta có: \(\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {FC}  = \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {DF} \) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {KL}  = \overrightarrow {NM} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(MNKL\) là hình bình hành.

b)  Gọi \(I\) là giao điểm của \(KM,\,\,LN.\)

Ta có: \(\overrightarrow {EI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {EL} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {ED}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{4}.2\overrightarrow {EF} \\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} \end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {EI} \) và \(\overrightarrow {EF} \) cùng hướng