Giải Bài 2. Hypebol – Chuyên đề Toán 10 CD

Giải CHI TIẾT Bài 2. Hypebol – Chuyên đề Toán 10 CD
===============

Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• HĐ 1
• HĐ 2

HĐ 1

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 13)

 

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) của hypebol \(\left( H \right)\)

b) Hypebol \(\left( H \right)\) cắt trục \(Ox\) tại các điểm \({A_1},{A_2}\). Tìm độ dài các đoạn thẳng \(O{A_1},O{A_2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)

Lời giải chi tiết:

a) \({F_1},{F_2}\) là tiêu điểm của hypebol (H) có tọa độ \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

b) \({A_1},{A_2}\) là giao điểm của (H) với Ox \( \Rightarrow {y_{{A_1}}} = {y_{{A_2}}} = 0 \Rightarrow \frac{{{x_{{A_1}}}^2}}{{{a^2}}} = 1;\frac{{{x_{{A_2}}}^2}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {x_{{A_1}}} =  – a;{x_{{A_2}}} = a\)

Hay \({A_1}( – a;0),{A_2}(a;0)\) \( \Rightarrow O{A_1} = O{A_2} = a\)

HĐ 2

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 14). Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên hypebol (H). Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) có nằm trên hypebol (H) không? Tại sao?

 

Lời giải chi tiết:

+ Điểm \({M_1}\left( {x; – y} \right)\) thuộc hypebol (H) vì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{( – y)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Điểm \({M_2}\left( { – x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) vì \(\frac{{{{( – x)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Điểm \({M_3}\left( { – x; – y} \right)\) thuộc hypebol (H) vì \(\frac{{{{( – x)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{( – y)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Giải mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• HĐ 3
• Luyện tập

HĐ 3

a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le  – a\) hoặc \(x \ge a\)

 

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { – a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; – b} \right),S – \left( {a;b} \right).\)

+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình \(y =  – \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\) được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì \(\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \ge \left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le  – a\end{array} \right.\)

b) Ta có: \(P\left( { – a;b} \right),R\left( {a; – b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PR}  = \left( {2a; – 2b} \right)\)

Chọn \(\left( {b;a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: \(PR:b\left( {x + a} \right) + a\left( {y – b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx + ay = 0\) hay \(PR:y =  – \frac{b}{a}x\)

Ta có: \(Q\left( {a;b} \right),S – \left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {QS}  = \left( { – 2a; – 2b} \right)\)

Chọn \(\left( {b; – a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: \(QS:b\left( {x – a} \right) – a\left( {y – b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx – ay = 0\) hay \(QS:y = \frac{b}{a}x\)

Luyện tập

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là \({A_2}\left( {5;0} \right)\) và một đường tiệm cận là \(y =  – 3x\)

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ 2 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y =  – \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có hypebol có đỉnh \({A_2}(a;0) = \left( {5;0} \right) \Rightarrow a = 5\)

+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y =  – 3x \Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow b = 3a = 15\)

Vậy phương trình hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\)

Giải mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Giải mục 3 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• Luyện tập

Luyện tập

Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng \(\frac{5}{4}.\)

Phương pháp giải:

Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Độ dài trục ảo \(2b\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi PTCT của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (\(a > 0,b > 0\))

Ta có:

+ Độ dài trục ảo \(2b = 6 \Rightarrow b = 3\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{25}}{{16}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{25}}{{16}} – 1 = \frac{9}{{16}} \Rightarrow {a^2} = {3^2}:\frac{9}{{16}} = 16 \Rightarrow a = 4\)

Vậy PTCT của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Giải mục 3 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
——————-

Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• HĐ 5
• HĐ 6
• Luyện tập – vận dụng 3

HĐ 5

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 16).  Khi đó \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của hypebol (H)

 

Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H), chứng minh:

a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) \(M{F_2}^2 = {x^2} – 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = 4cx\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { – c – x; – y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { – c – x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {c – x; – y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c – x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} – 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) – \left( {{x^2} – 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)

HĐ 6

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = 4cx\) và \(\left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 2a\), chứng minh \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\) và \(M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a – ex} \right|\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có: \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = \left( {M{F_1} – M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = \left( {M{F_1} – M{F_2}} \right).\left| {2a} \right| = 4cx\)

\( \Rightarrow M{F_1} – M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \left| {2a} \right|\quad \left( 1 \right)\\M{F_1} – M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra:

 \(2M{F_1} = \left| {2a} \right| + \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x \Rightarrow M{F_1} = \left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\)

\(M{F_2} = 2\left| a \right| – M{F_1} = 2\left| a \right| – \left( {\left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x} \right) = \left| a \right| – \frac{c}{{\left| a \right|}}x\)\( = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a – ex} \right|\)

 

Luyện tập – vận dụng 3

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Giả sử điểm M là diderm chuẩn thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) là: \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a = 12,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {144 + 9}  = 3\sqrt {17} \).

Do đó \(e = \frac{{3\sqrt {17} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {17} }}{4}\).

Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

\(M{F_1} = \left| {12 + \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|;M{F_2} = \left| {12 – \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|\)

Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
————–

Giải mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• HĐ 7
• Luyện tập – vận dụng 4

HĐ 7

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).

Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x =  – \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\) (Hình 17), tính:

 

a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\)

b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\)

Lời giải chi tiết:

a) Viết lại phương trình đưởng thẳng \({\Delta _1}\) ở dạng: \(x + 0y + \frac{a}{e} = 0\)

Với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\), ta có: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}\)

b) Ta có: \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e\)

Luyện tập – vận dụng 4

Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là \({F_2}(\sqrt 2 ;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (\(a > 0,b > 0\)).

+ Tiêu điểm \({F_2}(c;0) = (\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2 \)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\) hay \(\frac{a}{e} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Mà \(e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1.\) Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} – {a^2}}  = 1\)

Vậy PTCT của hypebol là \({x^2} – {y^2} = 1\)

Giải mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
—————

Giải mục 6 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

• Luyện tập

Luyện tập

Cho hypebol (H) có một đỉnh là \({A_1}( – 4;0)\) và tiêu cự là 10. Viết phươn trình chính tắc và vẽ hypebol (H).

Lời giải chi tiết:

Hypebol (H) có một đỉnh là \({A_1}( – a;0) = ( – 4;0) \Rightarrow a = 4\)

Tiêu cự \(2c = 10 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow b = \sqrt {{c^2} – {a^2}}  = \sqrt {{5^2} – {4^2}}  = 3\)

Phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)

* Vẽ hypebol

Bước 1: Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc 4 đường thẳng \(x =  – 4,x = 4,y = 3,y =  – 3\)

 

Bước 2: Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật sơ sở. Điểm \(M(\frac{{20}}{3};4)\) thuộc (H). Do đó các điểm \({M_1}(\frac{{20}}{3}; – 4),{M_2}( – \frac{{20}}{3};4),{M_3}( – \frac{{20}}{3}; – 4)\) thuộc (H).

 

Bước 3: Vẽ hypebol

 

Giải mục 6 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
===============

Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:

a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)

b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10

c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y =  – \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)

Phương pháp giải

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Các đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y =  – \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết

a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)

+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_1}\left( { – 3;0} \right) \Rightarrow c = 3\)

+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right) \Rightarrow a = 2\)

Khi đó \({b^2} = {c^2} – {a^2} = {3^2} – {2^2} = 5\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10

+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow a = 4\)

+ Hypebol có tiêu cự bằng 10 \( \Rightarrow 2c = 10 \Rightarrow c = 5\)

Khi đó \({b^2} = {c^2} – {a^2} = {5^2} – {4^2} = 9\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y =  – \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)

+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4\)

+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y =  – \frac{{\sqrt 7 }}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{7}{9} \Rightarrow {b^2} = \frac{7}{9}{a^2}\)

Với \(c = 4 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{7}{9}{b^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{{16}}{9}{b^2} = 16 \Rightarrow {b^2} = 9 \Rightarrow {a^2} = 7\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)

Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Giải bài 2 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

a) Xác định tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.

Phương pháp giải

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Các đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y =  – \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(a = 2,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

+ Tọa độ các đỉnh của hypebol là \({A_1}\left( { – 2;0} \right),{A_2}\left( {2;0} \right)\)

+ Tọa độ các tiêu điểm của hypebol là \({F_1}( – \sqrt 5 ;0),{F_2}(\sqrt 5 ;0)\)

+ Tiêu cự của hypebol là \(2c = 2\sqrt 5 \)

+ Độ dài trục thực: \(2a = 4\), độ dài trục ảo: \(2b = 2\)

b) Ta có phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y =  – \frac{1}{2}x,y = \frac{1}{2}x\)

Vẽ hypebol (H):

Ta thấy \(a = 2,b = 1\). (H) có các đỉnh \({A_1}\left( { – 2;0} \right),{A_2}\left( {2;0} \right)\)

 

Bước 1: Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn thường thẳng \(x =  – 2,x = 2,y =  – 1,y = 1\)

Bước 2: Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở

Tìm một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn, ta thấy điểm \(M\left( {3;\frac{9}{4}} \right)\) thuộc (H) và điểm \({M_1}\left( {3; – \frac{9}{4}} \right),{M_2}\left( { – 3;\frac{9}{4}} \right),{M_3}\left( { – 3; – \frac{9}{4}} \right)\) thuộc (H)

Bước 3: Vẽ đường hypebol (H) bên ngoài hình chữ nhật cơ sở, nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm \({A_1}\left( { – 2;0} \right)\) và điểm \({M_2},{M_3}\); nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm \({A_2}\left( {2;0} \right)\) và điểm \(M,{M_1}\). Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc tọa độ thì càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng và hai trục tọa độ là hai trục đối xứng.

Giải bài 2 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Giải bài 3 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là \({x^2} – {y^2} = 1\). Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.

Phương pháp giải

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y =  – \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(a = 1,b = 1\) nên ta có phương trình hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y =  – x,y = x\).

Hai đường thẳng này có hệ số góc lần lượt là \({k_1} =  – 1;{k_2} = 1\)

Ta thấy \({k_1}.{k_2} =  – 1\) nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau

Giải bài 3 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Giải bài 4 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của hypebol (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E)

Phương pháp giải

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { – a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; – b} \right),S – \left( {a;b} \right).\)

Cho hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

Lời giải chi tiết

Hypebol (H) có \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 10\) nên ta có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là \(M\left( {8;6} \right)\)

Phương trình hypebol (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Ta có: (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) nên \(c = 10 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = {c^2} = 100\)

+ Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E) \( \Rightarrow M\left( {8;6} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \({a^2} – {b^2} = 100 \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 100\)\( \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{b^2} + 100}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow 64{b^2} + 36\left( {{b^2} + 100} \right) = {b^4} + 100{b^2}\)

\( \Rightarrow {b^4} = 36.100 \Rightarrow {b^2} = 6.10 = 60 \Rightarrow {a^2} = 60 + 100 = 160\)

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{160}} + \frac{{{y^2}}}{{60}} = 1\)

Giải bài 4 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Giải bài 5 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>

Đề bài

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thủy hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

 

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách \(\left| {PA – PB} \right|\). Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là \({3.10^8}\) m/s.

a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu

b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Lời giải chi tiết

Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó \(PA – PB = \left( {{{3.10}^8}} \right).0,0012 = 360.000\left( m \right) = 360\left( {km} \right)\)

Vì con mày chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên\(\left| {PA – PB} \right| = 360\left( {km} \right)\) với mọi vị trí của P

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\)

Vì \(\left| {PA – PB} \right| = 360\) nên \(2a = 360 \Rightarrow a = 180\)

Theo đề bài, \(AB = 650 \Rightarrow 2c = 650 \Rightarrow c = 325\)

Ta có: \({b^2} = {c^2} – {a^2} = {325^2} – {180^2} = 73225\)

Vậy phương trình hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{32400}} – \frac{{{y^2}}}{{73225}} = 1\)

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi \({t_1}\) là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, \({t_2}\) là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì \({t_1} = \frac{{PA}}{v},{t_2} = \frac{{PB}}{v}\) với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

\({t_1} – {t_2} = \frac{{PA – PB}}{v} = \frac{{360000}}{{{{3.10}^8}}} = 0,0012\left( s \right)\)

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

 

Giải bài 5 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều