Đề: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {1;1;1} \right),C\left( {2; – 2;3} \right)\) và mặt phẳng\(\left( P \right):x – y + z + 3 = 0.\) Tìm điểm M trên (P) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra \(G\left( {1;0;2} \right)\)

Gọi G’ là hình chiếu của G lên (P).

Đường thẳng \(GG’ \bot \left( P \right) \Rightarrow GG’\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; – 1;1} \right)\) làm vecto chỉ phương.\( \Rightarrow GG’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  – t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right. \Rightarrow G\left( {1 + t; – t;2 + t} \right)\)

\(G \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t – \left( { – t} \right) + 2 + t + 3 = 0 \Leftrightarrow 3t =  – 6 \Leftrightarrow t =  – 2 \Rightarrow G\left( { – 1;2;0} \right)\)

Gọi \(M \in \left( P \right)\) có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| \ge \left| {3\overrightarrow {G’G} } \right|\)

Vậy điểm M trên (P) để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M \equiv G\left( { – 1;2;0} \right).\)