Câu hỏi:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 3 .\) Biết đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C và góc giữa cạnh SD và mặt đáy bằng \(60^\circ .\) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
- A. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\)
- B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
- C. \(V = {a^3}\)
- D. \(V = {a^3}\sqrt 3 \)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Tam giác SAB cân tại S có I là trung điểm của AB
Nên \(SI \bot AB\). Mà \(IE \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SIE} \right)\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow CD \bot SE \Rightarrow \Delta SCD\,\)cân tại S
Gọi \(H = IE \cap AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Ta có:
\(\widehat {SDH} = 60^\circ \)
Ta có: \(HE = \frac{{AD}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},DE = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\)
\(HD = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a,SH = HD\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \)
\({S_{ABCD}} = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \).
Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = {a^3}\)
=====
Xem lý thuyết thể tích đa diện
Trả lời