Đề: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 3 .\) Biết đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C và góc giữa cạnh SD và mặt đáy bằng \(60^\circ .\) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Tam giác SAB cân tại S có I là trung điểm của AB

Nên \(SI \bot AB\). Mà \(IE \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SIE} \right)\)

\( \Rightarrow CD \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow CD \bot SE \Rightarrow \Delta SCD\,\)cân tại S

Gọi \(H = IE \cap AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Ta có:

\(\widehat {SDH} = 60^\circ \)

Ta có: \(HE = \frac{{AD}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},DE = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\)

\(HD = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a,SH = HD\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \)

\({S_{ABCD}} = a.a\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3 \).

Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3  = {a^3}\)