Cho tứ diện \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\)với \(AB=3a\), \(AC=4a\). Hình chiếu \(H\) của \(S\) trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Biết \(SA=2a\), bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Tính được \(r=\frac{AB.AC}{AB+AC+BC}=a\).

Tính được \(AH=a\sqrt{2}\) và \(MH=\frac{a\sqrt{5}}{2}\).

Tam giác \(SAH\) vuông tại \(H\) Suy ra \(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(\Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC\). Suy ra \(O\in \Delta \).

Ta có:

\(O{{C}^{2}}=O{{S}^{2}}\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+M{{C}^{2}}=S{{K}^{2}}+O{{K}^{2}}\).

\(\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+\frac{25{{a}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}+{{(OM+a\sqrt{2})}^{2}}\Leftrightarrow OM=\frac{3\sqrt{2}}{4}a\)

Suy ra \(R=OC=\frac{\sqrt{118}}{4}a\).