Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B có cạnh AB = 3 , BC = 4 và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot BA\\
BC \bot DA
\end{array} \right. \to BC \bot (ABD) \to BC \bot BD\) ⇒ ΔBCD vuông tại B.
Gọi I là trung điểm của CD thì \(
IB = IC = ID = \frac{1}{2}CD\)
Do đó \(IA=IB=IC=ID⇒\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(
AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) (Định lí Pytago).
Vì DA⊥(ABC) nên AC là hình chiếu của DC lên (ABC).
\(
\Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}\)
Tam giác DAC vuông tại A có \(
\widehat {DCA} = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân \(\begin{array}{l}
\Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \\
\Rightarrow R = IA = \frac{1}{2}DC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
\(
V = \frac{4}{3}\pi I{A^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời