Câu hỏi:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) theo \(a.\)
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Gọi M là Trung điểm của AB
Vì tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều \(\to DM\bot AB;CM\bot AB\)
Do có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau => Góc \(\widehat{DMC}={{90}^{0}}\)
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC
G là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD
=> H,G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và ABD
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
H \in CM;CH = \frac{2}{3}CM\\
G \in DM;DG = \frac{2}{3}DM
\end{array} \right.\)
Kẻ đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và Đường vuông góc với (ABD) từ G.
Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên chúng cắt nhau tại O.
=> O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG và\(~R=OC.\)
Tam giác ABC đều \(\to CM=CB.\sin \left( {{60}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{3}}{3}a;HM=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)
CMTT ta có \(GM=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)
Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông \(\to OH=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)
Tam giác OHC vuông tại H → Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(CM=CB.\sin \left( 60 \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{3}}{3}a;HM=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)
\(OC=\sqrt{C{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{12}a=R\)\(\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{5}{3}\pi {{a}^{2}}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời