Câu hỏi:
Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Gọi cạnh đáy của hình chóp là \(a\)
Ta có \(\Delta SIJ\sim\Delta SMH\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{IJ}}{{MH}}\\
\Rightarrow MH\left( {SH – IH} \right) = IJ\sqrt {S{H^2} – H{M^2}} \\
\Rightarrow M{H^2}{\left( {SH – 1} \right)^2} = S{H^2} – H{M^2}\\
\Rightarrow \left( {{a^2} – 12} \right)S{H^2} – 2{a^2}SH = 0\\
\Rightarrow SH = \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} – 12}}\left( {{a^2} \ne 12} \right)
\end{array}\)
\(S=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{2{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}-12}=\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{1}{\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{12}{{{a}^{4}}}}\).
Ta có \(\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{12}{{{a}^{4}}}\le \frac{1}{48}\) \(\Rightarrow S\ge 8\sqrt{3}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời