Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) tạo với mặt đáy góc \({{60}^{0}}\) và điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(G.A'B'C'\) bằng:

Gọi \(M\) là trung điểm \(B’C’\), ta có

\({{60}^{0}}=\widehat{\left( AB’C’ \right),\left( A’B’C’ \right)}=\widehat{AM,A’M}=\widehat{AMA’}\).

Trong \(\Delta AA’M\), có \(A’M=\frac{a\sqrt{3}}{2}\);

\(AA’=A’M.\tan \widehat{AMA’}=\frac{3a}{2}\).

Gọi \(G’\) là trọng tâm tam giác đều \(A’B’C’\), suy ra \(G’\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A’B’C’.\)

Vì lặng trụ đứng nên \(GG’\bot \left( A’B’C’ \right)\).

Do đó \(GG’\) là trục của tam giác \(A’B’C’\).

Trong mặt phẳng \(\left( GC’G’ \right)\), kẻ trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(GC’\) cắt \(GG’\) tại \(I\). Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(G.A’B’C’\), bán kính \(R=GI.\)

Ta có \(\Delta GPI\,\,\ddot{y}\,\,\Delta GG’C’\Rightarrow \frac{GP}{GI}=\frac{GG’}{GC’}\)

\(\Rightarrow R=GI=\frac{GP.GC’}{GG’}=\frac{GC{{‘}^{2}}}{2GG’}=\frac{GG{{‘}^{2}}+G’C{{‘}^{2}}}{2GG’}=\frac{31a}{36}\).