Câu hỏi:
Cho khối chóp\(S.ABCD\)có \(SA\bot (ABCD)\); đáy\(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với\(AB=BC=a;\)\(AD=2a\); \(SA=a\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\).
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Gọi \(O\) là trung điểm của \(CD\).
Kẻ tia \(Ox\parallel SA\) thì \(Ox\bot (ABCD)\).
Ta có: \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \(CDE\) và \(Ox\bot (ABCD)\), nên \(Ox\) là trục của đường tròn \((CDE)\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,SC\).
Ta có: \(SM=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\); \(MC=\sqrt{M{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\) nên suy ra \(SM=MC\).
Do đó tam giác \(SMC\) cân tại \(M\), suy ra \(MN\bot SC\).
Dễ thấy \((MNO)//(SAD)\) và \(CE\bot (SAD)\) nên suy ra \(CE\bot (MNO)\) và do đó \(CE\bot MN\).
Vậy nên \(MN\bot (SEC)\), do đó \(MN\) là trục của đường tròn \((SEC)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(SO\) thì \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\) là \(R=\sqrt{IC}=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{C}^{2}}}\).
Trong đó \(OC=\frac{a\sqrt{5}}{2}\) và \(IO=3NP=3.\frac{SA}{2}=\frac{3a}{2}\) (\(P\) là giao điểm của \(MO\) và \(AC\)).
Vậy thì \(R=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\).
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời