Câu hỏi:
Cho khối chóp\(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) biết \(AB=1\);\(AC=\sqrt{3}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), biết \(SM\bot (ABC)\). Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện \(SMAB\) và \(SMAC\) bằng \(15\pi \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Dễ kiểm tra được \(BC=2a\) và tam giác \(MAB\) đều cạnh \(a\). Đặt \(SM=h\).
Gọi \({{R}_{1}},\,{{R}_{2}}\) và \(R\) lần lượt là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp của các hình \(SMAB\), \(SMAC\) và \(S.ABC\).
Gọi \({{r}_{1}},\,{{r}_{2}}\) và \(r\) lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(MAB\), \(MAC\) và \(ABC\).
Ta có: \({{r}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) và \({{r}_{2}}=\frac{AC}{2.\sin 120{}^\circ }=1\).
Vì \(SA\bot (MAB)\), \(SA\bot (MAC)\) nên dễ kiểm tra được:
\(R_{1}^{2}={{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}+r_{1}^{2}=\frac{{{h}^{2}}}{4}+\frac{3}{4}\) và \(R_{2}^{2}={{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}+r_{2}^{2}=\frac{{{h}^{2}}}{4}+1\).
Theo giả thiết tổng diện tích các mặt cầu thì: \(4\pi \left( R_{1}^{2}+R_{2}^{2} \right)=15\pi \)
Suy ra: \(\frac{{{h}^{2}}}{4}+\frac{3}{4}+\frac{{{h}^{2}}}{4}+1=\frac{15}{4}\). Từ đây tìm được \(h=2\).
Dựng trung trực của \(SC\), cắt \(SM\) tại \(I\) thì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp của \(S.ABC\).
Dễ kiểm tra \(SI.SM=SN.SC\), suy ra \(R=SI=\frac{SN.SC}{SM}=\frac{5}{4}\).
Vậy thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp\(S.ABC\)là \(S=4\pi {{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}=\frac{25\pi }{4}\).
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời