Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ ,\,AD > BC\), \(AB = BC = a\), \(\widehat {ADC} = 60^\circ \). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(AB\).

A. \(\frac{{\sqrt 3 .\,\pi {a^3}}}{9}\)

B. \(\frac{{10\pi {a^3}}}{9}\)

C. \(\frac{{10 + 3\sqrt 3 }}{9}.\,\,\pi {a^3}\)

D. \(\sqrt 3 \,\pi {a^3}\)

Lời giải:

Kẻ \(CE \bot AD \Rightarrow ED = \frac{{CE}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{AB}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \(AD = \frac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)a}}{3}\).

Thể tích hình nón cụt tạo ra khi quay hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(AB\) là:

\(V = \frac{1}{3}.\,\pi .AB\left( {B{C^2} + A{D^2} + BC.AD} \right) = \frac{1}{3}.\,\pi .\,a.\left[ {{a^2} + {{\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}.{a^2} + a.\frac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)a}}{3}} \right] = \frac{{10 + 3\sqrt 3 }}{9}.\,\,\pi {a^3}\)