Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA=a\sqrt{2}\) vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt \(SB,SD\) lần lượt tại \(E,F.\) Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm \(S,A,E,M,F\) nhận giá trị nào sau đây?

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên \(\text{EF}//BD.\Delta SAC\) cân tại A, trung tuyến AM nên \(AM\bot SC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC.\) Do đó \({\rm{EF}} \bot SC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(SC\bot \left( \alpha  \right)\Rightarrow SC\bot AE\,\,\,\left( * \right)\).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right),\left( ** \right)\) suy ra \(AE\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AE\bot SB.\)

Tương tự ta cũng có \(\text{AF}\bot SD.\) Do đó \(\widehat{SEA}=\widehat{SMA}=\widehat{SFA}={{90}^{0}}\) nên 5 điểm \(S,A,E,M,F\) cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính \(R=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)