Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),\,\,SA=a,\,\,AB=a\),\(AC=2a,\) \(\widehat{BAC}={{60}^{0}}.\) Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), \(d\)là đường thẳng đi qua \(H\)và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(SA\), \(O\) là giao điểm của\(d\)và \(\left( \alpha \right)\). Khi đó \(O\) là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Theo định lí hàm số cosin ta có :
\(\begin{align}
& BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos\widehat{BAC}} \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}-2a.2a.\cos {{60}^{0}}}=a\sqrt{3} \\
\end{align}\)
Diện tích tam giác \(ABC\):
\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.sin\widehat{BAC}=\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{2}\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\):
\(AH=\frac{AB.BC.AC}{4.{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{a.2a.a\sqrt{3}}{4.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=a\)
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp\(S.ABC\):
\(R=OA=\sqrt{A{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)
\(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời