Cho hàm số \(f(x) = {x^4} + a{x^2} + bx + 1\) và \(g(x) = c{x^2} + dx + 3\) với \((a,b,c,d \in \mathbb{R})\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2;1\). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Cho hàm số \(f(x) = {x^4} + a{x^2} + bx + 1\) và \(g(x) = c{x^2} + dx + 3\) với \((a,b,c,d \in \mathbb{R})\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2;1\). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

    

A. \(\frac{{45}}{5}\)       

B. \(2\)    

C. \(\frac{{99}}{{10}}\)  

D.\(\frac{3}{2}\)

Lời giải

Theo bài ra ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f( – 2) = g( – 2)}\\{f(1) = g(1)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16 + 4a – 2b + 1 = 4c – 2d + 3}\\{1 + a + b + 1 = c + d + 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4(a – c) – 2(b – d) =  – 14}\\{(a – c) + (b – d) = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a – c =  – 2}\\{b – d = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \(f(x) – g(x) = {x^4} + (a – c){x^2} + (b – d)x – 2\)

Diện tích hình phẳng cần tính là

\(S = \left| {\int_{ – 2}^1 {(f(} x) – g(x)){\rm{d}}x} \right| = \left| {\int_{ – 2}^1 {\left( {{x^4} + (a – c){x^2} + (b – d)x – 2} \right)} {\rm{d}}x} \right|\)

\( = \left| {\left. {\frac{{{x^5}}}{5} + (a – c)\frac{{{x^3}}}{3} + (b – d)\frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right|_{ – 2}^1} \right|\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}a – c =  – 2\\b – d = 3\end{array} \right.\)

ta có \(S = \left| {\frac{{{1^5} – {{( – 2)}^5}}}{5} – 2 \cdot \frac{{{1^3} – {{( – 2)}^3}}}{3} + 3 \cdot \frac{{{1^2} – {{( – 2)}^2}}}{2} – 2(1 – ( – 2))} \right| = \frac{{99}}{{10}}\)