Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) =  – f\left( {{x_2}} \right)\) Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch sọc trong hình. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) =  – f\left( {{x_2}} \right)\) Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch sọc trong hình. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng

A. \(\frac{4}{3}\) 

B. \(\frac{5}{3}\) 

C. \(\frac{2}{3}\) 

D. \(\frac{3}{2}\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(g(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số có được khi tịnh tiến đồ thị \(f\left( x \right)\) sang phải sao cho điểm uốn trùng gốc tọa độ \(O.\) Dễ thấy \(g(x)\) làhàm số lẻ nên\(g(x) = a{x^3} + cx\) có hai điểm cực trị tương ứng là \( – 2,2\). Suy ra \(g(x) = k({x^3} – 12x)\) với \(k > 0\)\(g(2) =  – 16k\)

Ta có:\({S_1} = k\int_{ – 2}^0 {\left| {{x^3} – 12x} \right|{\rm{d}}x}  = 20k.\)\({S_2} = k\int_0^2 {\left| {{x^3} – 12x + 16} \right|{\rm{d}}x}  = 12k.\)

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{3}.\)