Bài tập minh họa GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG \(ax + b < 0\)

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG \(ax + b < 0\)

Ví dụ  1:

Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:

a) \(mx + 6 \le 2x + 3m\)

b)  \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\)

c) \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 – 6x} \right)\)

Hướng dẫn:

a) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m – 2} \right)x < 3m – 6\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x \le 0\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3\)

Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\)(có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)).

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( { – \infty ;3} \right)\))

\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\))

b) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m – 2} \right)x > 4 – {m^2}\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x > 0\)suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} =  – m – 2\)

Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} =  – m – 2\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình vô nghiệm

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x >  – m – 2\)

\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x <  – m – 2\)

c) Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m – 3\)

Với \(m =  – 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge  – 6\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m \ne  – 3\) bât phương trình tương đương với \(x \ge \frac{{m – 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\)

Kết luận

\(m =  – 3\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

\(m \ne  – 3\) bât phương trình có nghiệm là \(x \ge \frac{{m – 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\).

Ví dụ 2 . Giải và biện luận bất phương trình sau:
$m\left( {{m}^{2}}x+2 \right)<x+{{m}^{2}}+1.$

Giải

Bất phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right)x<{{m}^{2}}-2m+1$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x<\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$).
Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Kết luận:
$m=1$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$

Ví dụ 3 . Tìm $m$ để bất phương trình $\left( {{m}^{2}}-m \right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.

Giải

Bất phương trình tương đương với $\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x<-2-m.$
Rõ ràng nếu ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -2 \\
m\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.
Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3.$

Ví dụ 4 . Tìm $m$ để bất phương trình $4{{m}^{2}}\left( 2x-1 \right)$ $\ge \left( 4{{m}^{2}}+5m+9 \right)x-12m$ có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$

Giải

Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}-5m-9 \right)x\ge 4{{m}^{2}}-12m.$
Dễ dàng thấy nếu $4{{m}^{2}}-5m-9\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne \frac{9}{4} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$
Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0x\ge 16$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=\frac{9}{4}$ bất phương trình trở thành $0x\ge -\frac{27}{4}$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{9}{4}.$

Ví dụ 5 . Tìm $m$ để bất phương trình $\left( 4{{m}^{2}}+7m+1 \right)x-5m$ $\ge 3x-m-1$ có tập nghiệm là $[-1;+\infty ).$

Giải

Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}+7m-2 \right)x\ge 4m-1$ $\Leftrightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)x\ge 4m-1.$
+ Với $\left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m>\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).
+ Với $-2<m<\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)<0$ bất phương trình tương đương với $x\le \frac{1}{m+2}$ suy ra $-2<m<\frac{1}{4}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m<-2$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.