Bài 9 hình chữ nhật – Giải bài 117 → 123 – Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1
Câu 117 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng ba điểm C, B, D trên hình 18 thẳng hàng.
Giải:
Nối AB, BO, BC, BO’, BD.
Trong ∆ ABC ta có:
OA = OC = R (bán kính đường tròn (O))
nên BO là đường trung tuyến của ∆ ABC
mà BO = R(bán kính (O))
⇒ BO = OA = OC = \({1 \over 2}\)AC
nên tam giác ABC vuông tại B \( \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0}\)
Trong ∆ ABD ta có: AO’ = O’D = R’ (bán kính (O’))
nên BO’ là đường trung tuyến của ∆ ABD
mà BO’ = R’ (bán kính (O’)) ⇒ BO’ = AO’ = O’D = \({1 \over 2}\)AD
nên tam giác ABD vuông tại B \( \Rightarrow \widehat {ABD} = {90^0}\)
\(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = \widehat {CBD}\)
\( \Rightarrow \widehat {CBD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Vậy C, B, D thẳng hàng.
Câu 118 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.
Giải:
Trong ∆ BCD ta có:
E là trung điểm của BC (gt)
F là trung điểm của BD (gt)
nên EF là đường trung bình của ∆ BCD
⇒ EF // CD và EF= \({1 \over 2}\)CD (1)
Trong ∆ ACD ta có:
H là trung điểm của AC (gt)
G là trung điểm của AD (gt)
nên HG là đường trung bình của ∆ ACD
⇒ HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên)
AB ⊥ CD(gt)
Suy ra EF ⊥ AB
Trong ∆ ABC ta có HE là đường trung bình ⇒ HE // AB
Suy ra: HE ⊥ EF hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
Câu 119 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân.
Giải:
Vì D là trung điểm của AB (gt)
E là trung điểm của AC (gt)
nên DE là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ DE // BC hay DE = HM
Suy ra: Tứ giác DEMH là hình thang
M là trung điểm của BC (gt)
nên DM là đường trung bình của ∆ BAC
⇒ DM = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong tam giác vuông AHC có\(\widehat {AHC} = {90^0}\).
HE là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC.
⇒ HE = \({1 \over 2}\)AC (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE
Vậy hình thang DEMH là hình thang cân (vì có hai đường chéo bằng nhau)
Câu 120 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác AEFG là hình thang cân.
Giải:
Trong ∆ BDC ta có:
E là trung điểm của BD (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình của ∆ BDC
⇒ EF // DC
hay EF // AG
Suy ra: Tứ giác AEFG là hình thang
G là trung điểm của DC (gt)
nên FG là đường trung bình của ∆ CBD
⇒ FG // BD ⇒ \({\widehat G_1} = {\widehat D_1}\) (đồng vị) (1)
Trong tam giác ABD vuông tại A có AE là trung tuyến thuộc cạnh huyền BD
⇒ AE = ED = \({1 \over 2}\)BD (tính chất tam giác vuông)
nên ∆ AED cân tại E \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat G_1}\)
Vậy hình thang AEFG là hình thang cân (theo định nghĩa).
Câu 121 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng EH = DH
HD: Vẽ điểm I là trung điểm của DE, điểm M là trung điểm của BC.
Giải:
BH ⊥ DE (gt)
CK ⊥ DE (gt)
Suy ra BH // CK nên tứ giác BHKC là hình thang
Ta có: Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE
Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
⇒ DM = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)
Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
⇒ EM = ${1 \over 2}$BC (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: DM = EM nên ∆ MDE cân tại M
MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE
Suy ra: MI // BH // CK
BM = MC
Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)
⇒ HE + EI = ID + DK
mà EI = ID ( theo cách vẽ)
⇒ HE = DK
Câu 122 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.
a. Chứng minh rằng AH = DE.
b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK
Giải:
a. Xét tứ giác ADHE:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì HD ⊥ AB)
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì HE ⊥ AC)
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
b. ∆ BHD vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH
⇒ DI = IB = \({1 \over 2}\) BH (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ IDB cân tại I \( \Rightarrow \widehat {DIB} = {{{{180}^0} – \widehat B} \over 2}\) (1)
∆ HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC
⇒ EK = KH = \({1 \over 2}\)HC (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ KHE cân tại K \( \Rightarrow \widehat {EKH} = {{{{180}^0} – \widehat {KHE}} \over 2}\) (2)
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
⇒ HE // AD hay HE // AB
⇒ \(\widehat B = \widehat {KHE}\) (đồng vị) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DIB} = \widehat {EKH}\)
⇒ DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Câu 123 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.
a. Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)
b. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.
Giải:
a. AH ⊥ BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\)
\(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) (vì ∆ ABC có\(\widehat A = {90^0}\))
Suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat C\) (1)
∆ ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC
⇒ AM = MC = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ MAC cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\) (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)
b. xét tứ giác ADHE có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì HD ⊥ AB)
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì HE ⊥ AC)
Suy ra: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ ∆ ADH = ∆ EHD (c.c.c)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {HED}\)
\(\widehat {HED} + {\widehat E_1} = \widehat {HEA} = {90^0}\)
Suy ra: \({\widehat E_1} + {\widehat A_1} = {90^0}\)
\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)
Gọi I là giao điểm của AM và DE
Trong ∆ AIE ta có:
\(\widehat {AIE} = {180^0} – \left( {{{\widehat E}_1} + {{\widehat A}_1}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \)AM ⊥ DE.
Câu 9.1 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Một hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 4cm và 6cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu xentimét ?
A. 8cm
B. \(\sqrt {52} \)cm
C. 9cm
D. \(\sqrt {42} \)cm
Hãy chọn phương án đúng.
Giải:
Chọn (B) \(\sqrt {52} \) (cm) đúng
Câu 9.2 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính số đo góc IHK.
Giải:
∆ AHB vuông tại H có HI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB
⇒ HI = IA = \({1 \over 2}\)AB (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ IAH cân tại I
\( \Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {IHA}\) (1)
∆ AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC
⇒ HK = KA = \({1 \over 2}\)AC (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ KAH cân tại K \( \Rightarrow \widehat {KAH} = \widehat {KHA}\) (2)
\(\widehat {IHK} = \widehat {IHA} + \widehat {KHA}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {IHK} = \widehat {IAH} + \widehat {KAH} = \widehat {IAK} = \widehat {BAC} = {90^0}\).
Câu 9.3 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên AD, BC. Chứng minh rằng EFCH là hình bình hành.
Giải:
Ta có: E là trung điểm của AD (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒ EF // CD hay EF // CH
∆ AHD vuông tại H có HE là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AD.
Ta có: HE = ED = \({1 \over 2}\)AD (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∆ EDH cân tại E
\( \Rightarrow \widehat D = {\widehat H_1}\) (tính chất tam giác cân)
\(\widehat D = \widehat C\) (vì ABCD là hình thang cân)
Suy ra: \({\widehat H_1} = \widehat C\)
⇒ EH // CF (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Vậy tứ giác EFCH là hình bình hành.
Trả lời