Câu 22 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có AB// CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DH = CK.
Giải:
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:
\(\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = {90^0}\)
AD=BC (tính chất hình thang cân)
\(\widehat C = \widehat D\) (gt)
Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)
Câu 23 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA=OB, OC=OD.
Giải:
Xét ∆ ADC và ∆ BCD, ta có:
AD = BC (tính chất hình thang cân)
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (gt)
DC cạnh chung
Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.g.c)
\( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}\)
Trong ∆ OCD ta có: \({\widehat C_1} = {\widehat D_1}\)
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD (1)
AC = BD ( tính chất hình thang cân)
⇒ AO + OC = BO + OD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO
Câu 24 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.
a. Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng \(\widehat A = {40^0}\)
Giải:
a. ∆ ABC cân tại A
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (1)
AB = AC (gt)
⇒ AM + BM= AN+ CN
⇒ mà BM = CN (gt)
⇒ suy ra: AM = AN
⇒ ∆ AMN cân tại A
\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\) ( tính chất tam giác cân) (2)
⇒ Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat M_1} = \widehat B\)
⇒MN // BC ( vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BCMN là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\). Vậy BCMN là hình thang cân.
b. \(\widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2} = {{{{180}^0} – {{40}^0}} \over 2} = {70^0}\)
Mà \({\widehat M_2} + \widehat B = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\( \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} – \widehat B = {180^0} – {70^0} = {110^0}\)
\({\widehat N_2} = {\widehat M_2} = {110^0}\) (tính chất hình thang cân)
Câu 25 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Giải:
Xét hai tam giác AEB và AFC
Có AB = AC (∆ ABC cân tại A)
\(\widehat {ABE} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\) và \(\widehat A\) là góc chung
\( \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEC\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại A
\( \Rightarrow \widehat {AFE} = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\) và trong tam giác \(\Delta ABC:\,\,\widehat B = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\)
\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B \Rightarrow FE//BC\) ⟹ tứ giác BFEC là hình thang.
Câu 26 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Giải:
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD (gt)
Suy ra: BD = BK do đó ∆ BDK cân tại B
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\) (tính chất tam giác cân)
Ta lại có: \({\widehat C_1} = \widehat K\) (hai góc đồng vị)
Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
Xét ∆ ACD và ∆ BDC:
AC = BD (gt)
\({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) (chứng minh trên)
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ACD = ∆ BDC (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)
Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.
Câu 27 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng \({50^0}\)
Giải:
Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và \(\widehat D = {50^0}\)
Vì \(\widehat C = \widehat D\) (tính chất hình thang cân)
\( \Rightarrow \widehat C = {50^0}\)
\(\widehat A + \widehat D = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\( \Rightarrow \widehat A = {180^0} – \widehat D = {180^0} – {50^0} = {130^0}\)
\(\widehat B = \widehat A\) (tính chất hình thang cân) \(\Rightarrow \widehat B = {130^0}\)
Câu 28 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.
Giải:
AB = AD (gt)
AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ AB = BC do đó ∆ ABC cân tại B
\(\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (tính chất tam giác cân)
Mặt khác: AB // CD (gt)
\({\widehat A_1} = {\widehat C_2}\) (hai góc so le trong)
Suy ra: \({\widehat C_1} = {\widehat C_2}\)
Vậy CA là tia phân giác của \(\widehat {BCD}\).
Câu 29 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?
Giải:
Ta có: OA = OC (gt)
⇒ ∆ OAC cân tại O
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {{{{180}^0} – \widehat {AOC}} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (1)
OB = OD (gt)
⇒ ∆ OBD cân tại O
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {{{{180}^0} – \widehat {BOD}} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (2)
\(\widehat {AOC} = \widehat {BOD}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat B_1}\)
⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra: AB = CD
Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.
Câu 30 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
a. AD = AE (gt)
⇒ ∆ ADE cân tại A
\( \Rightarrow \widehat {ADE} = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\)
∆ ABC cân tại A
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} – \widehat A} \over 2}\)
Suy ra: \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
⇒ DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BDEC là hình thang
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Hay \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\). Vậy BDEC là hình thang cân
b. Ta có: BD = DE ⇒ ∆ BDE cân tại D
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1}\)
Mà \({\widehat E_1} = {\widehat B_2}\) (so le trong)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\)
DE = EC ⇒∆ DEC cân tại E
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
\({\widehat D_1} = {\widehat C_2}\) (so le trong)
\( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat C_2}\)
Vậy khi BE là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\), CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) thì BD = DE = EC.
Câu 31 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\,\,\,\,(gt) \cr
& \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD} \cr} \)
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD
⇒ OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ OA = OB
Xét ∆ ADC và ∆ BCD :
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
⇒ ∆ EDC cân tại E
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
BD = AC (chứng minh trên)
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
Câu 32 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH.
Chứng minh rằng (a và b có cùng đơn vị đo)
b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm
Giải:
a. Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\)
AD = BC (tính chất hình thang cân)
\(\widehat D = \widehat C\) (gt)
Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ HD = KC
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
a−b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD
\( \Rightarrow HD = {{a – b} \over 2}\)
\(HD = DC-HD = a – {{a – b} \over 2} = {{a + b} \over 2}\)
b. \(HD = {{CD – AB} \over 2} = {{26 – 10} \over 2} = 8\left( {cm} \right)\)
Trong tam giác vuông AHD có \(\widehat {AHD} = {90^0}\)
\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\) (định lí Pi-ta-go)
\(\eqalign{
& \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} – H{D^2} \cr
& A{H^2} = {17^2} – {8^2} = 289 – 64 = 225 \cr
& AH = 15(cm) \cr} \)
Câu 33 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.
Giải:
Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)
\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong)
\(\eqalign{
& \widehat {ADB} = \widehat {BDC}(gt) \cr
& \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \)
⇒ ∆ ABD cân tại A
⇒ AB = AD = 3 (cm)
∆ BDC vuông tại B
\( \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\)
\(\widehat {ADC} = \widehat C\) (gt)
Mà \(\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat C\)
\(\widehat C + {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \widehat C = {60^0}\)
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)
\(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\) (đồng vị )
Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C\)
⇒ ∆ BEC cân tại B có \(\widehat C = {60^0}\)
⇒ ∆ BEC đều
⇒ EC = BC = 3 (cm)
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 (cm)
Chu vi hình thang ABCD bằng:
AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 (cm)
Câu 3.1 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(\widehat A = {70^0}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. \(\widehat C = {110^0}\)
B. \(\widehat B = {110^0}\)
C. \(\widehat C = {70^0}\)
D. \(\widehat D = {70^0}\)
Giải:
Chọn A. \(\widehat C = {110^0}\)
Câu 3.2 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1
Hình thang cân ABCD (AB// CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ra
do đó ID = IC (1)
Tam giác KCD có hai góc ở đấy bằng nhau nên KD = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra KI là đương trung trực của CD.
Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB
Suy ra KI là đường trung trực của AB
Câu 3.3 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có , DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm.
Giải:
Hình thang ABCD cân có AB // CD
\( \Rightarrow \widehat D = \widehat C = {60^0}\)
DB là tia phân giác của góc D
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong)
Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ABD}\)
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD (1)
Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE (2)
\(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\) (đồng vị )
Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C = {60^0}\)
⇒∆ BEC đều ⇒ EC = BC (3)
AD = BC (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ AB = BC = AD = ED = EC
⇒ Chu vi hình thang bằng:
AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC +ED +AD = 5AB
⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4 (cm)
CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)
Trả lời