Bài 10 đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước – Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1
Câu 124 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C và D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.
Giải:
Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N.
Ta có: AC = CD = DE (gt)
CM // DN // BE
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có: AM = MN = NB.
Câu 125 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Oy. Điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào ?
Giải:
Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B ⇒ BA = BC
Kẻ CH ⊥ Ox
Xét hai tam giác vuông AOB và CHB:
\(\widehat {AOB} = \widehat {CHB} = {90^0}\)
BA = BC (chứng minh trên)
\(\widehat {ABO} = \widehat {CBH}\) (đối đỉnh)
Do đó: ∆ AOB = ∆ CHB (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ CH = AO
A, O cố định ⇒ OA không đổi nên CH không đổi.
C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên C chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng OA.
Khi B trùng O thì C trùng với điểm K đối xứng với A qua điểm O.
Vậy C chuyển động trên tia Km // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA.
Câu 126 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào ?
Giải:
Kẻ AH ⊥ BC, IK ⊥ BC
⇒ AH // IK
Trong tam giác AHM ta có:
⇒ AI = IM (gt)
IK // AH (chứng minh trên)
Suy ra: IK là đường trung bình của ∆ AHM
⇒ IK = \({1 \over 2}\)AH
∆ ABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = \({1 \over 2}\)AH không đổi.
I thay đổi cách BC một khoảng bằng \({{AH} \over 2}\) không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng\({{AH} \over 2}\).
Khi M trùng với điểm B thì I trùng với P là trung điểm của AB.
Khi M trùng với điểm C thì I trùng với Q là trung điểm của AC.
Vậy khi M chuyển động trên cạnh BC của ∆ ABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của ∆ ABC.
Câu 127 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. So sánh các độ dài AM, DE.
b. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.
Giải:
a. Xét tứ giác ADME ta có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
MD ⊥ AB (gt)
\( \Rightarrow \widehat {MDA} = {90^0}\)
ME ⊥ AC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\)
Suy ra: Tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
b. Ta có: AH ⊥ BC nên AM ≥ AH. Dấu “=” xảy ra khi M trùng với H.
mà DE = AM (chứng minh trên)
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
Câu 128 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm M di chuyển trên đường thẳng d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua M. Điểm B di chuyển trên đường nào ?
Giải:
Kẻ AK ⊥ d, BH ⊥ d
M thay đổi trên d, B đối xứng với A qua M nên AM = MB
Xét hai tam giác vuông AKM và BHM:
\(\widehat {AKM} = \widehat {BHM} = {90^0}\)
AM = MB (chứng minh trên)
\(\widehat {AMK} = \widehat {BMH}\) (đối đỉnh)
Do đó: ∆ AKM = ∆ BHM (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AK = BH
Điểm A cố định, đường thẳng d cố định nên AK không thay đổi
M thay đổi, B thay đổi cách đường thẳng d cố định một khoảng bằng AK không đổi nên B chuyển động trên đường thẳng xy song song với d một khoảng bằng AK.
Câu 129 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào ?
Giải:
Gọi giao điểm của AD và BE là C.
∆ ABC có: \(\widehat A = {60^0}\) (vì ∆ ADM đều)
\(\widehat B = {60^0}\) (vì ∆ BEM đều)
Suy ra: ∆ ABC đều, AC = AB = BC nên điểm C cố định
\(\widehat A = \widehat {EMB} = {60^0}\)
⇒ ME // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay ME // DC
\(\widehat {DMA} = \widehat B = {60^0}\)
⇒ MD // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay MD // EC
Tứ giác CDME là hình bình hành
I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM
Kẻ CH ⊥ AB, IK ⊥ AB ⇒ IK // CH
Trong ∆ CHM ta có:
CI = IM
IK // CH
nên IK là đường trung bình của ∆ CHM ⇒ IK = \({1 \over 2}\)CH
C cố định ⇒ CH không đổi ⇒ IK =\({1 \over 2}\)CH không thay đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song AB, cách AB một khoảng bằng \({1 \over 2}\)CH.
Khi M trùng với A thì I trùng trung điểm P của AC.
Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.
Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ (P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC)
Câu 130 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Tính góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.
Giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
AC = BD (tính chất hình chữ nhật)
⇒ OA = OD = \({1 \over 2}\)AC
AD = \({1 \over 2}\)AC (gt)
Suy ra: OA = OD = AD
⇒ ∆ OAD đều
\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {60^0}\)
Câu 131 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Dựng hình chữ nhật ABCD, biết đường chéo AC = 4cm, góc tạo bởi hai đường chéo bằng 100°.
Giải:
Cách dựng:
– Dựng ∆ OAB biết OA = OB = 2cm.
\(\widehat {AOB} = {100^0}\)
– Trên tia đối tia OA dựng điểm C sao cho OC = OA = 2cm
– Trên tia đối tia OB dựng điểm D sao cho OD = OB = 2cm
Nối AD, BC, CD ta có hình chữ nhật ABCD cần dựng.
Chứng minh:
OA = OC, OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành
AC = BD = 4(cm) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật
Lại có : \(\widehat {AOB} = {100^0}\)
Câu 10.1 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tập hợp giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có A và B cố định là
A. Đường trung trực của AD;
B. Đường trung trực của AB;
C. Đường trung trực của BC;
D. Đường tròn (A; AB)
Hãy chọn phương án đúng.
Giải:
Chọn B. Đường trung trực của AB. Đúng
Câu 10.2 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho góc xOy cố định khác góc bẹt. Các điểm A và B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Đường vuông góc với OA tại A và đường vuông góc với OB tại B cắt nhau ở M. Điểm M chuyển động trên đường nào ?
Giải:
Xét hai tam giác vuông MOA và MOB: \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}\)
OA = OB (gt)
OM cạnh huyền chung
Do đó: ∆ MAO = ∆ MBO (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
A và B thay đổi, OA và OB luôn bằng nhau nên ∆ MAO và ∆ MBO luôn luôn bằng nhau do đó \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
Vậy khi A chuyển động trên Ox, B chuyển động trên Oy mà OA = OB thì điểm M chuyển động trên tia phân giác của góc xOy.
Câu 10.3 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Xét các hình bình hành ABCD có cạnh AD cố định, cạnh AB = 2cm. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Điểm I chuyển động trên đường nào ?
Giải:
Gọi K là trung điểm của cạnh AD.
ta có AD cố định nên điểm K cố định.
Trong ∆ ABD ta có:
IB = ID (tính chất hình bình hành)
KA = KD (theo cách vẽ)
nên KI là đường trung bình của ∆ ABD
⇒ KI = \({1 \over 2}\)AB =\({1 \over 2}\).2 = 1 (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác)
B và C thay đổi thì I thay đổi luôn cách điểm K cố định một khoảng không đổi nên I chuyển động trên (K ; 1 cm)
Trả lời