Bài 9 hình chữ nhật – Giải bài 106 → 116 – Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1
Câu 106 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết độ dài các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải:
Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = a = 3cm; BC = b = 5cm; BD = d
Trong tam giác vuông ABC theo định lý Py-ta-go ta có:
\(\eqalign{ & {d^2} = {a^2} + {b^2} \cr & \Rightarrow {d^2} = {3^2} + {5^2} = 9 + 25 = 34 \cr & d = \sqrt {34} \approx 5,8(cm) \cr} \)
Câu 107 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong hình chữ nhật:
a. Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.
b. Hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối là hai trục đối xứng của hình.
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Vì hình chữ nhật là một hình bình hành nên điểm O là tâm đối xứng của nó.
b. Ta biết trong hình thang cân đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.
Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AB và CD thì đường thẳng \({d_1}\) đi qua trung điểm của AB và CD là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.
Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai đáy là AD và BC nên đường thẳng \({d_2}\) đi qua trung điểm của AD và BC là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.
Câu 108 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Giải:
Giả sử ∆ ABC có \(\widehat A = {90^0}\) , M trung điểm của BC; AB = 5cm; AC = 10cm. Theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & BC = \sqrt {{5^2} + {{10}^2}} = \sqrt {125} \approx 11,2(cm) \cr} \)
AM \( = {1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)
⇒ AM \( \approx {1 \over 2}.11,2 = 5,6\) (cm)
Câu 109 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính x trên hình 16 (đơn vị đo : cm)
Giải:
Kẻ BH ⊥ CD
\(\widehat A = {90^0},\widehat D = {90^0},\widehat {BHD} = {90^0}\)
Suy ra: Tứ giác ABHD là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ AB = DH, BH = AD
HC = CD – DH
CD – AB = 24 – 16 = 8 (cm)
Trong tam giác vuông BHC, theo định lí Pi-ta-go ta có:
\(\eqalign{ & B{C^2} = B{H^2} + H{C^2} \cr & \Rightarrow B{H^2} = B{C^2} – H{C^2} \cr & B{H^2} = {17^2} – {8^2} = 289 – 64 = 225 \cr & BH = \sqrt {225} = 15(cm) \cr & x = AD = BH = 15(cm) \cr} \)
Câu 110 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt nhau tao thành một hình chữ nhật.
Giải:
Gọi G, H, E, K lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của \(\widehat A\) và\(\widehat B\); \(\widehat B\) và\(\widehat C\); \(\widehat C\) và\(\widehat D\); \(\widehat D\) và\(\widehat A\).
Ta có: \(\widehat {ADF} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\) (gt)
\(\widehat {DAF} = {1 \over 2}\widehat {DAB}\) (gt)
\(\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
Suy ra: \(\widehat {ADF} + \widehat {DAF} = {1 \over 2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {DAB}} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\)
Trong ∆ AFD ta có:
\(\widehat {AFD} = {180^0} – \left( {\widehat {ADF} + \widehat {DAF}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
\(\widehat {EFG} = \widehat {AFD}\) (đối đỉnh)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {EFG} = {90^0} \cr & \widehat {GAB} = {1 \over 2}\widehat {DAB}(gt) \cr & \widehat {GBA} = {1 \over 2}\widehat {CBA}(gt) \cr} \)
\(\widehat {DAB} + \widehat {CBA} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\( \Rightarrow \widehat {GBA} + \widehat {GAB} = {1 \over 2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {CBA}} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\)
Trong ∆ AGB ta có: \(\widehat {AGB} = {180^0} – \left( {\widehat {GAB} + \widehat {GBA}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
hay \(\widehat G = {90^0}\)
\(\eqalign{ & \widehat {EDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}(gt) \cr & \widehat {ECD} = {1 \over 2}\widehat {BCD}(gt) \cr} \)
\(\widehat {ADC} + \widehat {BCD} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\( \Rightarrow \widehat {EDC} + \widehat {ECD} = {1 \over 2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {BCD}} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\)
Trong ∆ EDC ta có: \(\widehat {DEC} = {180^0} – \left( {\widehat {EDC} + \widehat {ECD}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)hay \(\widehat E = {90^0}\)
Câu 111 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
Giải:
Trong ∆ ABC ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình của ∆ ABC
⇒ EF // AC và EF \( = {1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong ∆ DAC ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
nên HG là đường trung bình của ∆ DAC.
⇒ HG // AC và HG \( = {1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)
EF // AC ( chứng minh trên)
Suy ra: EF ⊥ BD
Trong ∆ ABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD
Suy ra: EF ⊥ EH hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
Câu 112 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tìm các hình chữ nhật trên hình 17 (trong hình 17b, O là tâm của đường tròn)
Giải:
– Hình a ta có: \(\widehat B = \widehat {HDC}\)
⇒ AB // DH(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay DH // AE
\(\widehat C = \widehat {BDE}\)
⇒ DE // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay DE // AH
\(\widehat A = {90^0}\)
Vậy : Tứ giác AHDE là hình chữ nhật.
– Hình b: Tứ giác MNPQ có:
OM = ON = OP = OQ
⇒ Tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau. Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
Câu 113 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Các câu sau đúng hay sai ?
a. Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.
b. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
c. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.
Giải:
a. Đúng vì hình chữ nhật có 4 góc vuông
b. Sai vì hình thang cân có hai cạnh bên không song song có hai đường chéo bằng nhau
c. Đúng vì hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Câu 114 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giác ADME là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.
b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất ?
Giải:
a. Xét tứ giác ADME ta có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
MD ⊥ AB (gt)
\( \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0}\)
ME ⊥ AC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {AEM} = {90^0}\)
Suy ra: Tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
∆ ABC vuông cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = {45^0}\)
Suy ra: ∆ DBM vuông cân tại D ⇒ DM = DB
Chu vi hình chữ nhật ADME bằng :
2(AD + DM) = 2 ( AD + DB) = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)
b. Gọi H là trung điểm của BC
Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)
AM ≥ AH (dấu “=” xảy ra khi M trùng với H)
Tứ giác ADME là hình chữ nhật
⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra: DE ≥ AH
Vậy DE = AH có độ dài nhỏ nhất khi điểm M là trung điểm của BC.
Câu 115 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?
Giải:
Ta có: G là trọng tâm của ∆ ABC
⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)
GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)
Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M
⇒ MG = MD hay GD = 2 GM
Suy ra: GD = GD (1)
Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N
⇒ NG = NE hay GE = 2 GN
Suy ra: GC = GE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét ∆ BCM và ∆ CBN:
BC cạnh chung
\(\widehat {BCM} = \widehat {CBN}\) (tính chất tam giác cân)
CM = BN ( vì AB = AC)
Do đó: ∆ BCM = ∆ CBN (c.g.c)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat C_1}\)⇒ ∆ GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE
Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Câu 116 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2cm, HB = 6cm. Tính các độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị).
Giải:
Ta có: DB = HD + HB = 2 + 6 = 8(cm)
AC = DB (tính chất hình chữ nhật)
OA = OB = OC = OD = \({1 \over 2}\)BD = 4(cm)
OD = OH + HD
⇒ OH = OD – HD = 4 – 2 = 2(cm)
AH ⊥ OD có HO = HD = 2(cm)
Suy ra: ∆ ADO cân tại A
⇒ AD = AO = 4(cm)
Trong tam giác vuông ABD có \(\widehat {BAD} = {90^0}\)
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\) (định lý Pi-ta-go) \( \Rightarrow A{B^2} = B{D^2} – A{D^2}\)
\(AB = \sqrt {B{D^2} – A{D^2}} = \sqrt {{8^2} – {4^2}} = \sqrt {48} \approx 7\) (cm).
Trả lời