Bài 5 Công thức nghiệm thu gọn – Sách bài tập Toán 9 tập 2
Câu 27 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:
a) \(5{x^2} – 6x – 1 = 0\)
b) \( – 3{x^2} + 14x – 8 = 0\)
c) \(- 7{x^2} + 4x = 3\)
d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\)
Giải
a) \(5{x^2} – 6x – 1 = 0\)
Có hệ số a = 5; b’ = -3; c = -1
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = b{‘^2} – ac = {\left( { – 3} \right)^2} – 5.\left( { – 1} \right) = 9 + 5 = 14 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {14} \cr
& {x_1} = {{ – b’ + \sqrt {\Delta ‘} } \over a} = {{3 + \sqrt {14} } \over 5} \cr
& {x_2} = {{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} } \over a} = {{3 – \sqrt {14} } \over 5} \cr} \)
b) \( – 3{x^2} + 14x – 8 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 14x + 8 = 0\)
Có hệ số a = 3; b’ = -7; c = 8
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 7} \right)^2} – 3.8 = 49 – 23 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{7 + 5} \over 3} = 4 \cr
& {x_2} = {{7 – 5} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \)
c) \( – 7{x^2} + 4x = 3 \Leftrightarrow 7{x^2} – 4x + 3 = 0\)
Có hệ số a = 7; b’ = -2; c = 3
\(\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 7.3 = 4 – 21 = – 17 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\)
Có hệ số a = 9; b’ = 3; c = 1
\(\Delta ‘ = {3^2} – 9.1 = 9 – 9 = 0\)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = {{ – b} \over a} = {{ – 3} \over 9} = – {1 \over 3}\)
Câu 28 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:
a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)
b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x – 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)
c) \( – 2\sqrt 2 x – 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)
d) \({x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)
e) \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 \) và \( – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1\)?
Giải
a)
\(\eqalign{
& {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} – 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 2 – 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{1 + \sqrt 2 – 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \)
Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
b)
\(\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2x – 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 – 2\sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 – \sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^2} – \sqrt 3 \left( { – 4} \right) \cr
& = 1 – 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 3 – 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 – 1 – 1 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Vậy với x = 2 hoặc \(x = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau.
c)
\(\eqalign{
& – 2\sqrt 2 x – 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} – \sqrt 2 .4 \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 4\sqrt 2 \cr
& = 1 – 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 – 1 \cr
& {x_1} = {{ – 1 – \sqrt 2 + \sqrt 2 – 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 2 }} = – \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt 2 – \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = – 2 \cr} \)
Vậy với \(x = – \sqrt 2 \) hoặc \(x = – 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.
d)
\(\eqalign{
& {x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} – 1.2\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 – 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{ – 1 – \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 – \sqrt 3 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt 3 – 2} \over 1} = – 3 – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy với \(x = 1 – \sqrt 3 \) hoặc \(x = – 3 – \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
e)
\(\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 = – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2} – \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1} \right) \cr
& = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr
& = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr
& {x_2} = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) – 1 – 2\sqrt 3 – \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ – 1 – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr
& = 4 – \sqrt 3 – \sqrt 5 – \sqrt {15} \cr} \)
Câu 29 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5). Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức:
\(h = – {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\)
Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu
a) Khi vận động viên ở độ cao 3m?
b) Khi vận động viên chạm mặt nước?
Giải
a) Khi h = 3m ta có:
\(\eqalign{
& 3 = – {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 – 1 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x – 2} \right) = 0 \cr} \)
Suy ra: \({x_1} = 0;{x_2} = 2.\) Vậy x = 0m hoặc x = 2m
b) Khi vận động viên chạm mặt nước ta có h = 0
\(\eqalign{
& \Rightarrow – {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – 1.\left( { – 3} \right) = 1 + 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{1 + 2} \over 1} = 3 \cr
& {x_2} = {{1 – 2} \over 1} = – 1 \cr} \)
Vì khoảng cách không âm. Vậy x = 3m
Câu 30 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):
a) \(16{x^2} – 8x + 1 = 0\)
b) \(6{x^2} – 10x – 1 = 0\)
c) \(5{x^2} + 24x + 9 = 0\)
d) \(16{x^2} – 10x + 1 = 0\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& 16{x^2} – 8x + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 4} \right)^2} – 16.1 = 16 – 16 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = {4 \over {16}} = {1 \over 4} = 0,25\)
b) \(6{x^2} – 10x – 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 5} \right)^2} – 6.\left( { – 1} \right) = 25 + 6 = 31 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {31} \cr
& {x_1} = {{5 + \sqrt {31} } \over 6} \approx 1,76 \cr
& {x_2} = {{5 – \sqrt {31} } \over 6} \approx – 0,09 \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& 5{x^2} + 24x + 9 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {12} \right)^2} – 5.9 = 144 – 45 = 99 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {99} = 3\sqrt {11} \cr
& {x_1} = {{ – 12 + 3\sqrt {11} } \over 5} \approx – 0,41 \cr
& {x_2} = {{ – 12 – 3\sqrt {11} } \over 5} \approx – 4,39 \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& 16{x^2} – 10x + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 5} \right)^2} – 16.1 = 25 – 16 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{5 + 3} \over {16}} = {8 \over {16}} = 0,5 \cr
& {x_2} = {{5 – 3} \over {16}} = {2 \over {16}} = {1 \over 8} = 0,125 \cr} \)
Câu 31 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau:
a) \(y = {1 \over 3}{x^2}\) và \(y = 2x – 3\)
b) \(y = – {1 \over 2}{x^2}\) và \(y = x – 8\)?
Giải
a) \({1 \over 3}{x^2} = 2x – 3 \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 9 = 0\)
\(\Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.9 = 9 – 9 = 0\)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 3\)
Vậy với x = 3 thì hàm số \(y = {1 \over 3}{x^2}\) và hàm số y = 2x – 3 có giá trị bằng nhau.
b) \( – {1 \over 2}{x^2} = x – 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 16 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 16} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {17} \cr
& {x_1} = {{ – 1 + \sqrt {17} } \over 1} = – 1 + \sqrt {17} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt {17} } \over 1} = – 1 – \sqrt {17} \cr} \)
Vậy với \(x = \sqrt {17} – 1\) hoặc \(x = – \left( {1 + \sqrt {17} } \right)\) thì giá trị của hai hàm số \(y = – {1 \over 2}{x^2}\) và y = x – 8 bằng nhau.
Câu 32 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Với giá trị nào của m thì:
a) Phương trình \(2{x^2} – {m^2}x + 18m = 0\) có một nghiệm x = -3.
b) Phương trình \(m{x^2} – x – 5{m^2} = 0\) có một nghiệm x = -2?
Giải
a) x = -3 là nghiệm của phương trình \(2{x^2} – {m^2}x + 18m = 0\) (1)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2.{\left( { – 3} \right)^2} – {m^2}\left( { – 3} \right) + 18m = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{m^2} + 18m + 18 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 6 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {3^2} – 1.6 = 9 – 6 = 3 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{ – 3 + \sqrt 3 } \over 1} = – 3 + \sqrt 3 \cr
& {m_2} = {{ – 3 – \sqrt 3 } \over 1} = – 3 – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy với \(m = – 3 – \sqrt 3 \) hoặc \(m = – 3 – \sqrt 3 \) thì phương trình (1) có nghiệm x = -3
b) x = -2 là nghiệm của phương trình \(m{x^2} – x – 5{m^2} = 0\) (2)
Ta có:
\(\eqalign{
& m{\left( { – 2} \right)^2} – \left( { – 2} \right) – 5{m^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{m^2} – 4m – 2 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 5.\left( { – 2} \right) = 4 + 10 = 14 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {14} \cr
& {m_1} = {{2 + \sqrt {14} } \over 5} \cr
& {m_2} = {{2 – \sqrt {14} } \over 5} \cr} \)
Vậy \(m = {{2 + \sqrt {14} } \over 5}\) hoặc \(m = {{2 – \sqrt {14} } \over 5}\) thì phương trình (2) có nghiệm x = -2
Câu 33 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a) \({x^2} – 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 3 = 0\)
b) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 4mx + 4m – 1 = 0\)
Giải
a) Phương trình \({x^2} – 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ‘ > 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {m + 3} \right)} \right]^2} – 1\left( {{m^2} + 3} \right) \cr
& = {m^2} + 6m + 9 – {m^2} – 3 = 6m + 6 \cr
& \Delta ‘ > 0 \Rightarrow 6m + 6 > 0 \Leftrightarrow 6m > – 6 \Leftrightarrow m > – 1 \cr} \)
Vậy với m > -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình: \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 4mx + 4m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 và \(\Delta ‘ > 0\)
\(\eqalign{
& m + 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne – 1 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {2m} \right)^2} – \left( {m + 1} \right)\left( {4m – 1} \right) \cr
& = 4{m^2} – 4{m^2} + m – 4m + 1 = 1 – 3m \cr
& \Delta ‘ > 0 \Rightarrow 1 – 3m > 0 \Leftrightarrow 3m < 1 \Leftrightarrow m < {1 \over 3} \cr} \)
Vậy với \(m < {1 \over 3}\) và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 34 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép:
a) \(5{x^2} + 2mx – 2m + 15 = 0\)
b) \(m{x^2} – 4\left( {m – 1} \right)x – 8 = 0\)
Giải
a) Phương trình \(5{x^2} + 2mx – 2m + 15 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ‘ = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {m^2} – 5\left( { – 2m + 15} \right) = {m^2} + 10m – 75 \cr
& \Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 10m – 75 = 0 \cr
& \Delta ‘m = {5^2} – 1.\left( { – 75} \right) = 25 + 75 = 100 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘m} = \sqrt {100} = 10 \cr
& {m_1} = {{ – 5 + 10} \over 1} = 5 \cr
& {m_2} = {{ – 5 – 10} \over 1} = – 15 \cr} \)
Vậy với m = 5 hoặc m = -15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b) Phương trình \(m{x^2} – 4\left( {m – 1} \right)x – 8 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(m \ne 0\) và \(\Delta ‘ = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left[ { – 2\left( {m – 1} \right)} \right]^2} – m.\left( { – 8} \right) \cr
& = 4\left( {{m^2} – 2m + 1} \right) + 8m \cr
& = 4{m^2} – 8m + 4 + 8m \cr
& = 4{m^2} + 4 \cr
& \Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 = 0 \cr} \)
Ta có \(4{m^2} \ge 0 \Rightarrow 4{m^2} + 4 \ge 0\) với mọi m
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.
Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?
A) \({x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)
B) \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over a}\)
C) \({x_1} = {x_2} = – {b \over a}\)
D) \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over {2a}}\)
Giải
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0
Chọn B: \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over a}\)
Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} – 2acx + {a^2} – {b^2} = 0\) có nghiệm.
Giải
Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} – 2acx + {a^2} – {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({b^2} + {c^2} \ne 0\) và \(\Delta ‘ \ge 0\)
\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – ac} \right)^2} – \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} – {b^2}} \right) \cr
& = {a^2}{c^2} – {a^2}{b^2} + {b^4} – {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = – {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left( { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \))
Vì \({b^2} \ge 0 \Rightarrow – {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)
Vậy với \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right) + \left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) + \left( {x – c} \right)\left( {x – a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.
Giải
\(\eqalign{
& \left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right) + \left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) + \left( {x – c} \right)\left( {x – a} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – bx – ax + ab + {x^2} – cx – bx + bc + {x^2} – ax – cx + ac = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} – 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ac = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {a + b + c} \right)^2} – 3\left( {ab + bc + ac} \right) \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc – 3ab – 3ac – 3bc \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ac \cr
& = {1 \over 2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} – 2ab – 2ac – 2bc} \right) \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} – 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} – 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} – 2ac + {c^2}} \right)} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {{\left( {b – c} \right)}^2} + {{\left( {a – c} \right)}^2}} \right] \cr} \)
Ta có: \({\left( {a – b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \({\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \Delta ‘ = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {{\left( {b – c} \right)}^2} + {{\left( {a – c} \right)}^2}} \right] \ge 0\)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
Trả lời