Bài 7 Phương trình quy về phương trình bậc hai – Sách bài tập Toán 9 tập 2
Câu 45 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({\left( {x + 2} \right)^2} – 3x – 5 = \left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right)\)
b) \({\left( {x – 1} \right)^3} + 2x = {x^3} – {x^2} – 2x + 1\)
c) \(x\left( {{x^2} – 6} \right) – {\left( {x – 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)
d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x – 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x – 7} \right) = 12x – 23\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 2} \right)^2} – 3x – 5 = \left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 – 3x – 5 = 1 – {x^2} \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 2 = 0 \cr
& \Delta = 1 – 4.2.\left( { – 2} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr
& {x_1} = {{ – 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} – 1} \over 4} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt {17} } \over {2.2}} = – {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {\left( {x – 1} \right)^3} + 2x = {x^3} – {x^2} – 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 + 2x = {x^3} – {x^2} – 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 7x + 2 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {33} \cr
& {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{7 – \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 – \sqrt {33} } \over 4} \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& x\left( {{x^2} – 6} \right) – {\left( {x – 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3} \cr
& \Leftrightarrow {x^3} – 6x – {x^2} + 4x – 4 = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \cr
& \Delta = {5^2} – 4.4.5 = 25 – 80 = – 55 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
d)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x – 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x – 7} \right) = 12x – 23 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 + {x^2} – 4x + 4 + {x^2} – 49 – 12x + 23 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.1 = 1 – 1 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 1\)
Câu 46 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({{12} \over {x – 1}} – {8 \over {x + 1}} = 1\)
b) \({{16} \over {x – 3}} + {{30} \over {1 – x}} = 3\)
c) \({{{x^2} – 3x + 5} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x – 3}}\)
d) \({{2x} \over {x – 2}} – {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)
e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x – 30} \over {{x^3} – 1}} = {{{x^2} – x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)
f) \({{{x^2} + 9x – 1} \over {{x^4} – 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
Giải
a) \({{12} \over {x – 1}} – {8 \over {x + 1}} = 1\) điều kiện: \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) – 8\left( {x – 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow 12x + 12 – 8x + 8 = {x^2} – 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 21 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left( { – 21} \right) = 4 + 21 = 25 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \cr
& {x_2} = {{2 – 5} \over 1} = – 3 \cr} \)
Giá trị x = 7; x = -3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} = – 3\)
b) \({{16} \over {x – 3}} + {{30} \over {1 – x}} = 3\) điều kiện: $x \ne 3;x \ne 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 16\left( {1 – x} \right) + 30\left( {x – 3} \right) = 3\left( {x – 3} \right)\left( {1 – x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 16 – 16x + 30x – 90 = 3x – 3{x^2} – 9 + 9x \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x – 65 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {1^2} – 3.\left( { – 65} \right) = 1 + 195 = 196 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {196} = 14 \cr
& {x_1} = {{ – 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – 14} \over 3} = – 5 \cr} \)
Giá trị \(x = {{13} \over 3}\) và x = -5 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{13} \over 3};{x_2} = – 5\)
c) \({{{x^2} – 3x + 5} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x – 3}}\) điều kiện: \(x \ne 3;x \ne – 2\)
\( \Rightarrow {x^2} – 3x + 5 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 = 0\)
Phương trình có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0 \cr
& 1 + \left( { – 4} \right) + 3 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = 3 \cr} \)
Giá trị x = 3 không thỏa mãn điều kiện: loại
Vậy phương trình có một nghiệm x = 1
d) \({{2x} \over {x – 2}} – {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) điều kiện: \(x \ne 2;x \ne – 4\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) – x\left( {x – 2} \right) = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x – {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{ – 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – 3} \over 1} = – 4 \cr} \)
Cả hai giá trị x = 2 và x = -4 không thỏa mãn điều kiện: loại
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x – 30} \over {{x^3} – 1}} = {{{x^2} – x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\) điều kiện \(x \ne 1\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x – 30} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{{x^2} – x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \cr
& \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x – 30 = \left( {{x^2} – x + 16} \right)\left( {x – 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x – 30 = {x^3} – {x^2} + 16x – {x^2} + x – 16 \cr
& \Leftrightarrow 9{x^2} – 11x – 14 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 11} \right)^2} – 4.9.\left( { – 14} \right) = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \cr
& {x_2} = {{11 – 25} \over {2.9}} = {{ – 14} \over {18}} = – {7 \over 9} \cr} \)
Giá trị x = 2 và \(x = – {7 \over 9}\) thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = – {7 \over 9}\)
f) \({{{x^2} + 9x – 1} \over {{x^4} – 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x – 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)}} = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) điều kiện \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {x^2} + 9x – 1 = 17\left( {x – 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x – 1 = 17x – 17 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x – 17x – 1 + 17 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 16 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 4} \right)^2} – 1.16 = 16 – 16 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 4\)
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 4
Câu 47 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) \(3{x^2} + 6{x^2} – 4x = 0\)
b) \({\left( {x + 1} \right)^3} – x + 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\)
c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x – 1} \right)^2}\)
d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)
e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} – 10{x^3} – 15x = 0\)
f) \({x^3} – 5{x^2} – x + 5 = 0\)
Giải
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích.
a) \(3{x^3} + 6{x^2} – 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {3{x^2} + 6x – 4} \right) = 0\)
x = 0 hoặc \(3{x^2} + 6x – 4 = 0\)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 6x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {3^2} – 3.\left( { – 4} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ – 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ – 3 – \sqrt {21} } \over 3} \cr} \)
Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {{ – 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_3} = {{ – 3 – \sqrt {21} } \over 3}\)
b)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 1} \right)^3} – x + 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 – x + 1 = {x^2} – 2x – x + 2 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 0 \cr} \)
x = 0 hoặc \({x^2} + 2x + 5 = 0\)
\(\eqalign{
& {x^2} + 2x + 5 = 0 \cr
& \Delta ‘ = 1 – 1.5 = 1 – 5 = – 4 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0
c)
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x – 1} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} – {\left( {4x – 1} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {4x – 1} \right)} \right]\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) – \left( {4x – 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 1 + 4x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 – 4x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 5 = 0} \cr
{{x^2} – 3x + 2 = 0} \cr} } \right. \cr} \)
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
\({x^2} – 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\), ta có: \(1 + \left( { – 3} \right) + 2 = 0\)
\({x_1} = 1;{x_2} = 2\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = – 5;{x_3} = 1;{x_4} = 2\)
d)
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} – 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) – 6} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x – 4} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} + 3x + 2 = 0} \cr
{{x^2} + 3x – 4 = 0} \cr} } \right. \cr} \)
\({x^2} + 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a – b + c = 0\), ta có:
\(\eqalign{
& 1 – 3 + 2 = 0 \cr
& {x_1} = – 1;{x_2} = – 2 \cr} \)
\({x^2} + 3x – 4 = 0\) có dạng: $a + b + c = 0\)
\(\eqalign{
& 1 + 3 + \left( { – 4} \right) = 0 \cr
& {x_3} = 1;{x_4} = – 4 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = – 1;{x_2} = – 2;{x_3} = 1;{x_4} = – 4\)
e)
\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} – 10{x^3} – 15x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} – 5x\left( {2{x^2} + 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 3} \right)\left( {2{x^2} + 3 – 5x} \right) = 0 \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 3 > 0 \cr
& \Rightarrow 2{x^2} – 5x + 3 = 0 \cr} \)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2 + \left( { – 5} \right) + 3 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2}\)
f)
\(\eqalign{
& {x^3} – 5{x^2} – x + 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x – 5} \right) – \left( {x – 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {{x^2} – 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \left[ {\matrix{
{x – 5 = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
{x – 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 5} \cr
{x = – 1} \cr
{x = 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = – 1;{x_3} = 1\)
Câu 48 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình trùng phương:
a) \({x^4} – 8{x^2} – 9 = 0\)
b) \({y^4} – 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
c) \({z^4} – 7{z^2} – 144 = 0\)
d) \(36{t^4} – 13{t^2} + 1 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^4} – {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} – 2 = 0\)
Giải
a) \({x^4} – 8{x^2} – 9 = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 8t – 9 = 0\) có dạng \(a – b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 – \left( { – 8} \right) + \left( { – 9} \right) = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 9} \over 1} = 9 \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
\( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = – 3\)
b) \({y^4} – 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 1,16t + 0,16 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 + \left( { – 1,16} \right) + 0,16 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr
& \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr
& {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} = – 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = – 0,4\)
c) \({z^4} – 7{z^2} – 144 = 0\) đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 7t – 144 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.1.\left( { – 144} \right) = 49 + 576 = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr
& {t_2} = {{7 – 25} \over {2.1}} = – 9 \cr} \)
\({t_2} = – 9 < 0\) loại
\( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} = – 4\)
d) \(36{t^4} – 13{t^2} + 1 = 0\) đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\)
Ta có phương trình: \(36{u^2} – 13u + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 13} \right)^2} – 4.36.1 = 169 – 144 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr
& {u_2} = {{13 – 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr
& {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr
& {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2};{x_2} = – {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = – {1 \over 3}\)
e)
\(\eqalign{
& {1 \over 3}{x^4} – {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^4} – 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(2{t^2} – 3t + 1 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2 + \left( { – 3} \right) + 1 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr
& {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = – 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = – {{\sqrt 2 } \over 2}\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} – 2 = 0\) đặt \({x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(\sqrt 3 {t^2} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)t – 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 3 – \left[ { – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { – 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 – \left( {\sqrt 3 – 2} \right) + \left( { – 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 – \sqrt 3 + 2 – 2 = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
\({x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = – {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Câu 49 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Giải
Phương trình: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(a{t^2} + bt + c = 0\)
Vì a và c trái dấu ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 và t2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\) nên t1 và t2 trái dấu.
Giả sử t1 < 0; t2 > 0. Vì t ≥ 0 ⇒ t1 < 0 loại
\( \Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{t_2}} \)
Vậy phương trình trùng phương: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có hệ số a và c trái dấu thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm đối nhau.
Câu 50 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {4x – 5} \right)^2} – 6\left( {4x – 5} \right) + 8 = 0\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x – 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x – 1} \right) – 8 = 0\)
c) \({\left( {2{x^2} + x – 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x – 16 = 0\)
d) \(\left( {{x^2} – 3x + 4} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3\)
e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} – {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)
f) \(x – \sqrt {x – 1} – 3 = 0\)
Giải
a) \({\left( {4x – 5} \right)^2} – 6\left( {4x – 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(4x – 5 = t,\) ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {t^2} – 6t + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr
& {t_2} = {{3 – 1} \over 1} = 2 \cr} \)
Suy ra:
\(\left[ {\matrix{
{4x – 5 = 4} \cr
{4x – 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {9 \over 4}} \cr
{x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)
Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x – 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x – 1} \right) – 8 = 0\) đặt \({x^2} + 3x – 1 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 8 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {t_1} = {{ – 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {t_2} = {{ – 1 – 3} \over 1} = – 4 \cr} \)
Với t1 = 2 ta có: \({x^2} + 3x – 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 3 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = 9 – 4.1.\left( { – 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ – 3 + \sqrt {21} } \over 1} = – 3 + \sqrt {21} \cr
& {x_2} = {{ – 3 – \sqrt {21} } \over 1} = – 3 – \sqrt {21} \cr} \)
Với t2 = -4 ta có: \({x^2} + 3x – 1 = – 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)
\(\Delta = {3^2} – 4.1.3 = 9 – 12 = – 3 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = – 3 + \sqrt {21} ;{x_2} = – 3 – \sqrt {21} \)
c)
\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + x – 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x – 16 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x – 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x – 2} \right) – 6 = 0 \cr} \)
Đặt \(2{x^2} + x – 2 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 5t – 6 = 0\) có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { – 6} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = – 6 \cr} \)
Với t1 = 1 ta có: \(2{x^2} + x – 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\)
\(2 + 1 + \left( { – 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = – {3 \over 2}\)
Với t2 = -6 ta có: \(2{x^2} + x – 2 = – 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)
\(\Delta = {1^2} – 4.2.4 = 1 – 32 = – 31 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = – {3 \over 2}\)
d)
\(\eqalign{
& \left( {{x^2} – 3x + 4} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) – 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} – 3x + 2 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 3 = 0\) có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { – 3} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ – 3} \over 1} = – 3 \cr} \)
Với t1 = 1 ta có: \({x^2} – 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.1 = 9 – 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với t2 = -3 ta có: \({x^2} – 3x + 2 = – 3 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 5 = 0\)
\(\Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.5 = 9 – 20 = – 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
e)
\(\eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} – {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} – 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(2{t^2} – 5t + 3 = 0\)
\(2{t^2} – 5t + 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0;2 + \left( { – 5} \right) + 3 = 0\)
\({t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)
Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm
Với t2 = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x = – 3\)
x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3
f) \(x – \sqrt {x – 1} – 3 = 0\) điều kiện: x ≥ 1
\( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right) – \sqrt {x – 1} – 2 = 0\) đặt \(\sqrt {x – 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – t – 2 = 0\) có dạng: \(a – b + c = 0\)
\(\eqalign{
& 1 – \left( { – 1} \right) + \left( { – 2} \right) = 1 + 1 – 2 = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 2} \over 1} = 2 \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x – 1} = 2 \Rightarrow x – 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)
x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5
Câu 7.1 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({x^4} – 2{x^3} + 3{x^2} – 2x – 3 = 0\)
b) \(5 – \sqrt {3 – 2x} = \left| {2x – 3} \right|\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& {x^4} – 2{x^3} + 3{x^2} – 2x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} – 2x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + 2x\left( {x – 1} \right) – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x – 1} \right) – 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(x\left( {x – 1} \right) = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 3 = 0\) có dạng \(a + b + c = 0\)
\(1 + 2 + \left( { – 3} \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ – 3} \over 1} = – 3\)
Với t1 = 1 ta có: \(x\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x – 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 1} \right)^2} – 4.1.\left( { – 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{1 – \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 – \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với t2 = -3 ta có: \(x\left( {x – 1} \right) = – 3 \Leftrightarrow {x^2} – x + 3 = 0\)
\(\Delta = {\left( { – 1} \right)^2} – 4.1.3 = 1 – 12 = – 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 – \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \(5 – \sqrt {3 – 2x} = \left| {2x – 3} \right|\) điều kiện \(3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)
\( \Rightarrow 5 – \sqrt {3 – 2x} = 3 – 2x\) đặt \(\sqrt {3 – 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(5 – t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t – 5 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {1^2} – 4.1.\left( { – 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {t_1} = {{ – 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} – 1} \over 2} \cr
& {t_2} = {{ – 1 – \sqrt {21} } \over {2.1}} = – {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)
\({t_2} = – {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 – 2x} = {{\sqrt {21} – 1} \over 2} \cr
& \Rightarrow 3 – 2x = {{21 – 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 12 – 8x = 22 – 2\sqrt {21} \cr
& \Leftrightarrow 8x = 12 – 22 + 2\sqrt {21} \cr
& \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} – 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} – 5} \over 4} \cr} \)
Phương trình có 1 nghiệm: \(x = {{\sqrt {21} – 5} \over 4}\)
Câu 7.2 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x – 1} – {m^2} + 6m – 11 = 0\)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giải
a) Khi m = 2 ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x – 1} – 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)
Đặt \(\sqrt {x – 1} = t \Rightarrow t \ge 0;x + 2\sqrt {x – 1} – 3 = 0 \Leftrightarrow x – 1 + 2\sqrt {x – 1} – 2 = 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 2 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 3 \cr
& {t_1} = {{ – 1 + \sqrt 3 } \over 1} = – 1 + \sqrt 3 \cr
& {t_2} = {{ – 1 – \sqrt 3 } \over 1} = – \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)
\({t_2} = – \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x – 1} = \sqrt 3 – 1 \cr
& \Rightarrow x – 1 = {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x – 1 = 3 – 2\sqrt 3 + 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 5 – 2\sqrt 3 \cr} \)
Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 5 – 2\sqrt 3 \)
b) \(x + 2\sqrt {x – 1} – {m^2} + 6m – 11 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)
\( \Leftrightarrow x – 1 + 2\sqrt {x – 1} – {m^2} + 6m – 10 = 0\)
Đặt \(\sqrt {x – 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – {m^2} + 6m – 10 = 0\)
\(a = 1 > 0;c = – {m^2} + 6m – 10 = – \left( {{m^2} – 6m + 9 + 1} \right) = – \left[ {{{\left( {m – 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\)
nên c < 0 ⇒ a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm.
Phân biệt t1 và t2 trái dấu nhau. Giả sử t1 > 0 \( \Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm
Câu 7.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của m để phương trình
\(\left[ {{x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Giải
Phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {{x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr
{{x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)
Ta xét phương trình (1): \({x^2} – 2mx – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\({\Delta _1}’ = {\left( { – m} \right)^2} – 1.\left[ { – 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi m
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2): \({x^2} – 4x – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\(\eqalign{
& {\Delta _2}’ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left[ { – 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr
& = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _2}’ \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} – {m^2} – m + 2m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) – m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} – m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \({m^2} – m + 2 = {m^2} – 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} = {\left( {m – {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)
\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1\)
Vậy với m ≥ -1 thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: \({\Delta _2}’ = 0\) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: \(4 – 4m – 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4 – 4m – 4{m^2} – 4 \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow – 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m \ne 0} \cr
{m \ne – 1} \cr} } \right.\)
vô lý loại vì m = -1
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 trong đó có 1 nghiệm giả sử là x1 cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta _2}’ > 0 \Leftrightarrow m > – 1\)
Và
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 – 2m{x_1} – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr
{{x_1}^2 – 4{x_1} – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m – 4{m^2} – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} – 2{m^2} + m – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m – 2} \right) + \left( {m – 2} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 – 2m} \right){x_1} + 2\left( {m – 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {2 – m} \right){x_1} + 2\left( {m – 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 \cr} \)
Vì x1 cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \({x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} – 2m\left( {{m^2} + 1} \right) – 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 – 2m – 4} \right] = 0 \cr} \)
(vì \({m^2} + 1 > 0\) )
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 – 2m – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} – 2m – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} – 3m + m – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m – 3} \right) + \left( {m – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m – 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr
{m = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vì m > -1 nên m = -1 loại
Vậy m = 3. Thay m = 3 vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1): \({x^2} – 6x – 40 = 0\)
Phương trình (2): \({x^2} – 4x – 60 = 0\)
Giải phương trình (1):
\(\eqalign{
& {x^2} – 6x – 40 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.\left( { – 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{3 – 7} \over 1} = – 4 \cr} \)
Giải phương trình (2):
\(\eqalign{
& {x^2} – 4x – 60 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left( { – 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {64} = 8 \cr
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{2 – 8} \over 1} = – 6 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi m = 3
Trả lời