Bài 3 Phương trình bậc hai một ẩn – Sách bài tập Toán 9 tập 2
Câu 15 trang 51 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình
a) \(7{x^2} – 5x = 0\)
b) \( – \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0\)
c) \(3,4{x^2} + 8,2x = 0\)
d) \( – {2 \over 5}{x^2} – {7 \over 3}x = 0\)
Giải
a) \(7{x^2} – 5x = 0 \Leftrightarrow x\left( {7x – 5} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(7x – 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = {5 \over 7}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {5 \over 7}\)
b) \( – \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x\left( {6 – \sqrt 2 x} \right) = 0\)
⇔ x = 0 hoặc \(6 – \sqrt 2 x = 0\)
⇔ x = 0 hoặc \(x = 3\sqrt 2 \)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 3\sqrt 2 \)
c) \(3,4{x^2} + 8,2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {17x + 41} \right) = 0\)
⇔ x = 0 hoặc 17x + 41 = 0
⇔ x = 0 hoặc \(x = – {{41} \over {17}}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = – {{41} \over {17}}\)
d) \( – {2 \over 5}{x^2} – {7 \over 3}x = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 35x = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {6x + 35} \right) = 0\)
⇔ x = 0 hoặc 6x + 35 = 0
⇔ x = 0 hoặc \(x = – {{35} \over 6}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = – {{35} \over 6}\)
Câu 16 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) \(5{x^2} – 20 = 0\)
b) \( – 3{x^2} + 15 = 0\)
c) \(1,2{x^2} – 0,192 = 0\)
d) \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\)
Giải
a) \(5{x^2} – 20x = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\)
⇔ x = 2 hoặc x = -2
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2;{x_2} = – 2\)
b) \( – 3{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt 5 \)
⇔ \(x = \sqrt 5 \) hoặc \(x = – \sqrt 5 \)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \sqrt 5 ;{x_2} = – \sqrt 5 \)
c) \(1,2{x^2} – 0,192 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 0,16 \Leftrightarrow \left| x \right| = 0,4\)
\( \Leftrightarrow x = 0,4\) hoặc x = -0,4
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0,4;{x_2} = – 0,4\)
d) \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\)
Ta có: \({x^2} \ge 0;1172,5{x^2} \ge 0;1172,5{x^2} + 42,18 > 0\) nên không có giá trị nào của x để \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\)
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 17 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({\left( {x – 3} \right)^2} = 4\)
b) \({\left( {{1 \over 2} – x} \right)^2} – 3 = 0\)
c) \({\left( {2x – \sqrt 2 } \right)^2} – 8 = 0\)
d) \({\left( {2,1x – 1,2} \right)^2} – 0,25 = 0\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& {\left( {x – 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} – {2^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {x – 3} \right) + 2} \right]\left[ {\left( {x – 3} \right) – 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \cr} \)
⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0
⇔ x = 1 hoặc x = 5
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = 5\)
b)
\(\eqalign{
& {\left( {{1 \over 2} – x} \right)^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {{1 \over 2} – x} \right) + \sqrt 3 } \right]\left[ {\left( {{1 \over 2} – x} \right) – \sqrt 3 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{1 \over 2} + \sqrt 3 – x} \right)\left( {{1 \over 2} – \sqrt 3 – x} \right) = 0 \cr} \)
⇔ \({1 \over 2} + \sqrt 3 – x = 0\) hoặc \({1 \over 2} – \sqrt 3 – x = 0\)
\( \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + \sqrt 3 \) hoặc \(x = {1 \over 2} – \sqrt 3 \)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2} = \sqrt 3 ;{x_2} = {1 \over 2} – \sqrt 3 \)
c) \({\left( {2x – \sqrt 2 } \right)^2} – 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2x – \sqrt 2 } \right)^2} – {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x – \sqrt 2 } \right) + 2\sqrt 2 } \right]\left[ {\left( {2x – \sqrt 2 } \right) – 2\sqrt 2 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {2x + \sqrt 2 } \right)\left( {2x – 3\sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \)
⇔ \(2x + \sqrt 2 = 0\) hoặc \(2x – 3\sqrt 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = – {{\sqrt 2 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = – {{\sqrt 2 } \over 2};{x_2} = {{3\sqrt 2 } \over 2}\)
d) \({\left( {2,1x – 1,2} \right)^2} – 0,25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2,1x – 1,2} \right)^2} – {\left( {0,5} \right)^2} = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {2,1x – 1,2 + 0,5} \right)\left( {2,1x – 1,2 – 0,5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {2,1x – 0,7} \right)\left( {2,1x – 1,7} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 2,1x – 0,7 = 0\) hoặc \(2,1x – 1,7 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) hoặc \(x = {{17} \over {21}}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {1 \over 3};{x_2} = {{17} \over {21}}\)
Câu 18 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a) \({x^2} – 6x + 5 = 0\)
b) \({x^2} – 3x – 7 = 0\)
c) \(3{x^2} – 12x + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} – 6x + 5 = 0\)
Giải
a) \({x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.3x + 9 = 4 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow \left| {x – 3} \right| = 2\) \( \Leftrightarrow x – 3 = 2\) hoặc \(x – 3 = – 2\)⇔ x = 5 hoặc x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = 1\)
b)\({x^2} – 3x – 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = 7 + {9 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {x – {3 \over 2}} \right)^2} = {{37} \over 4}\)
\( \Leftrightarrow \left| {x – {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x – {3 \over 2} = {{\sqrt {37} } \over 2}\) hoặc \(x – {3 \over 2} = – {{\sqrt {37} } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt {37} } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 – \sqrt {37} } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt {37} } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt {37} } \over 2}\)
c)
\(\eqalign{
& 3{x^2} – 12x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + {1 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2.2x + 4 = 4 – {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = {{11} \over 3} \Leftrightarrow \left| {x – 2} \right| = {{\sqrt {33} } \over 3} \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – 2 = {{\sqrt {33} } \over 3}\) hoặc \(x – 2 = – {{\sqrt {33} } \over 3}\)
\( \Leftrightarrow x = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3}\) hoặc \(x = 2 – {{\sqrt {33} } \over 3}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3};{x_2} = 2 – {{\sqrt {33} } \over 3}\)
d)
\(\eqalign{
& 3{x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + {5 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 1 – {5 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = – {2 \over 3} \cr} \)
Vế trái \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\); vế phải \( – {2 \over 3} < 0\)
Vậy không có giá trị nào của x để \({\left( {x – 1} \right)^2} = – {2 \over 3}\)
Phương trình vô nghiệm.
Câu 19 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Nhận thấy rằng phương trình tích \(\left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right) = 0,\) hay phương trình bậc hai \({x^2} – x – 6 = 0,\) có hai nghiệm là \({x_1} = – 2,{x_2} = 3\). Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau:
a) \({x_1} = 2,{x_2} = 5\)
b) \({x_1} = – {1 \over 2},{x_2} = 3\)
c) \({x_1} = 0,1;{x_2} = 0,2\)
d) \({x_1} = 1 – \sqrt 2 ,{x_2} = 1 + \sqrt 2 \)
Giải
a) Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:
\(\left( {x – 2} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0\)
b) Hai số \( – {1 \over 2}\) và 3 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( { – {1 \over 2}} \right)} \right]\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + {1 \over 2}} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x – 3 = 0 \cr} \)
c) Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 0,1} \right)\left( {x – 0,2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 0,3x + 0,02 = 0 \cr} \)
d) Hai số \(1 – \sqrt 2 \) và \(1 + \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 – \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \cr} \)
Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Đưa các phương trình sau về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) và xác định các hệ số a, b, c:
a) \(4{x^2} + 2x = 5x – 7\)
b) \(5x – 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x – 4 + {x^2}\)
c) \(m{x^2} – 3x + 5 = {x^2} – mx\)
d) \(x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2\)
Giải
a) \(4{x^2} + 2x = 5x – 7 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x + 7 = 0\) có a = 4, b = -3, c = 7
b)
\(\eqalign{
& 5x – 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x – 4 + {x^2} \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 5 – 1} \right){x^2} + 2x + 1 = 0 \cr
& a = \sqrt 5 – 1;b = 2;c = 1 \cr} \)
c) \(m{x^2} – 3x + 5 = {x^2} – mx \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right){x^2} – \left( {3 – m} \right)x + 5 = 0\)
\(m – 1 \ne \) nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = – (3 – m ); c = 5
d)
\(\eqalign{
& x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + \left( {1 – m} \right)x – 2 = 0 \cr} \)
\({m^2} – 1 \ne 0\) nó là phương trình bậc hai có \(a = {m^2} – 1,b = 1 – m,c = – 2\)
Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a) \({x^2} – 3x + 1 = 0\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x – 1 = 0\)
c) \(5{x^2} – 7x + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x – 2 = 0\)
Giải
a) \({x^2} – 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} – 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x – {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x – {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x – {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x – {3 \over 2} = – {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x – 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x + {{\sqrt 2 } \over 2} = – {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{ – \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x = – {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{ – \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} = – {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
c)
\(\eqalign{
& 5{x^2} – 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} – {1 \over 5} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x – {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x – {7 \over {10}} = – {{\sqrt {29} } \over {10}}\)
\( \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x = {{7 – \sqrt {29} } \over {10}}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 – \sqrt {29} } \over {10}}\)
d)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 2\sqrt 3 x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x – {2 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\) hoặc \(x + {{\sqrt 3 } \over 3} = – 1\)
\( \Leftrightarrow x = 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\) hoặc \(x = – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 – {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} = – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm b, c để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là những số dưới đây:
a) \({x_1} = – 1\) và \({x_2} = 2\)
b) x1 = -5 và x2 = 0
c) \({x_1} = 1 + \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 – \sqrt 2 \)
d) x1 = 3 và \({x_2} = – {1 \over 2}\)
Giải
a) Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \cr} \)
Hệ số: b = -1; c = -2.
b) Hai số – 5 và 0 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 5} \right)\left( {x + 0} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr} \)
Hệ số: b = 5; c = 0
c) Hai số \(1 + \sqrt 2 \) và \(1 – \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)x – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \cr} \)
Hệ số: b = -2; c = -1
d) Hai số 3 và \( – {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 3} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x – 3x – {3 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x – 3 = 0 \cr} \)
Hệ số: b = -5; c = -3
Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm a, b, c để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Giải
x = -2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\), ta có:
\(4a – 2b + c = 0\)
x = 3 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) ta có:
\(9a + 3b + c = 0\)
Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a – 2b + c = 0} \cr
{9a + 3b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5a + 5b = 0} \cr
{4a – 2b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – a} \cr
{4a – 2\left( { – a} \right) + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – a} \cr
{c = – 6a} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:
\(\left\{ {\matrix{
a \cr
{b = – a} \cr
{c = – 6a} \cr} } \right.\)
thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm x1 = -2; x2 = 3
Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:
\(\eqalign{
& 2{x^2} – 2x – 12 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)
Có nghiệm: \({x_1} = – 2;{x_2} = 3\)
Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời