Bài 6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Sách bài tập Toán 9 tập 2
Câu 35 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:
a) \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)
b) \(5{x^2} + 2x – 16 = 0\)
c) \({1 \over 3}{x^2} + 2x – {{16} \over 3} = 0\)
d) \({1 \over 2}{x^2} – 3x + 2 = 0\)
Giải
Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét
a) \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)
Có hệ số a = 3, b = -2, c = -5
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – 3.\left( { – 5} \right) = 1 + 15 = 16 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {16} = 4 \cr
& {x_1} = {{1 + 4} \over 3} = {5 \over 3} \cr
& {x_2} = {{1 – 4} \over 3} = – 1 \cr
& {x_1} + {x_2} = {5 \over 3} + \left( { – 1} \right) = {2 \over 3} \cr
& {x_1}{x_2} = {5 \over 3}.\left( { – 1} \right) = {{ – 5} \over 3} \cr} \)
b) \(5{x^2} + 2x – 16 = 0\)
Có hệ số a = 5, b = 2, c = -16
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {1^2} – 5.\left( { – 16} \right) = 1 + 80 = 81 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {81} = 9 \cr
& {x_1} = {{ – 1 + 9} \over 5} = {8 \over 5} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – 9} \over 5} = – 2 \cr
& {x_1} + {x_2} = {8 \over 5} + \left( { – 2} \right) = {{ – 2} \over 5} \cr
& {x_1}{x_2} = {8 \over 5}.\left( { – 2} \right) = {{ – 16} \over 5} \cr} \)
c) \({1 \over 3}{x^2} + 2x – {{16} \over 3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 16 = 0\)
Có hệ số a = 1, b = 6, c = -16
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {3^2}.\left( { – 1} \right).\left( { – 16} \right) = 9 + 16 = 25 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{ – 3 + 5} \over 1} = 2 \cr
& {x_2} = {{ – 3 – 5} \over 1} = – 8 \cr
& {x_1} + {x_2} = 2 + \left( { – 8} \right) = – 6 \cr
& {x_1}{x_2} = 2.\left( { – 8} \right) = – 16 \cr} \)
d) \({1 \over 2}{x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 4 = 0\)
Có hệ số a = 1, b = -6, c = 4
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.4 = 9 – 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{3 – \sqrt 5 } \over 1} = 3 – \sqrt 5 \cr
& {x_2} = {{3 + \sqrt 5 } \over 1} = 3 + \sqrt 5 \cr
& {x_1} + {x_2} = 3 – \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 = 6 \cr
& {x_1}{x_2} = \left( {3 – \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 9 – 5 = 4 \cr} \)
Câu 36 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:
a) \(2{x^2} – 7x + 2 = 0\)
b) \(2{x^2} + 9x + 7 = 0\)
c) \(\left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\)
d) \(1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0\)
e) \(5{x^2} + x + 2 = 0\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& 2{x^2} – 7x + 2 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = {7 \over 2};{x_1}{x_2} = {2 \over 2} = 1\)
b)
\(\eqalign{
& 5{x^2} + 2x – 16 = 0 \cr
& a = 5;c = – 16;ac < 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = – {2 \over 5};{x_1}{x_2} = – {{16} \over 5}\)
c)
\(\eqalign{
& \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {2^2} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 4 – 4 – 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt 6 \cr
& = 2\sqrt 3 + \sqrt 6 – 2\sqrt 2 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = {{ – 4} \over {2 – \sqrt 3 }} = – 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cr
& {x_1}{x_2} = {{2 + \sqrt 2 } \over {2 – \sqrt 3 }} = {{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \over {4 – 3}} = 4 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& 1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1,4.1,2 = 9 – 6,72 = 2,28 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {{ – 3} \over {1,4}} = {{30} \over {14}} = {{15} \over 7} \cr
& {x_1}{x_2} = {{1,2} \over {1,4}} = {6 \over 7} \cr} \)
e)
\(\eqalign{
& 5{x^2} + x + 2 = 0 \cr
& \Delta = 1 – 4.5.2 = 1 – 40 = – 39 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.
Câu 37 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) \(7{x^2} – 9x + 2 = 0\)
b) \(23{x^2} – 9x – 32 = 0\)
c) \(1975{x^2} + 4x – 1979 = 0\)
d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 – \sqrt 2 } \right)x – 10 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^2} – {3 \over 2}x – {{11} \over 6} = 0\)
f) \(31,1{x^2} – 50,9x + 19,8 = 0\)
Giải
a) \(7{x^2} – 9x + 2 = 0\)
Ta có hệ số: a = 7, b = -9, c = 2
Phương trình có dạng: a + b + c = 0
\(\Rightarrow 7 + \left( { – 9} \right) + 2 = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = {2 \over 7}\)
b) \(23{x^2} – 9x – 32 = 0\)
Ta có hệ số: a = 23, b = -9, c = -32
Phương trình có dạng: a – b + c = 0
\(\eqalign{
& \Rightarrow 23 – \left( { – 9} \right) + \left( { – 32} \right) = 23 + 9 – 32 = 0 \cr
& {x_1} = – 1;{x_2} = – {{ – 32} \over {23}} = {{32} \over {23}} \cr} \)
c) \(1975{x^2} + 4x – 1979 = 0\)
Ta có hệ số: a = 1975, b = 4, c = -1979
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 1975 + 4 + \left( { – 1979} \right) = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {{ – 1979} \over {1975}} \cr} \)
d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 – \sqrt 2 } \right)x – 10 = 0\)
Ta có hệ số \(a = 5 + \sqrt 2 ,b = 5 – \sqrt 2 ,c = – 10\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 5 + \sqrt 2 + 5 – \sqrt 2 + \left( { – 10} \right) = 0 \cr
& {x_1} = 2;{x_2} = {{ – 10} \over {5 + \sqrt 2 }} = – {{10\left( {5 – \sqrt 2 } \right)} \over {23}} \cr} \)
e) \({1 \over 3}{x^2} – {3 \over 2}x – {{11} \over 6} = 0\)
Ta có hệ số: \(a = {1 \over 3},b = – {3 \over 2},c = – {{11} \over 6}\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {1 \over 3} – \left( { – {3 \over 2}} \right) + \left( { – {{11} \over 6}} \right) = {1 \over 3} + {3 \over 2} – {{11} \over 6} = {2 \over 6} + {9 \over 6} – {{11} \over 6} = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = – {{ – 11} \over 6}:{1 \over 3} = {{11} \over 6}.{3 \over 1} = {{11} \over 2} \cr} \)
f) \(31,1{x^2} – 50,9x + 19,8 = 0\)
Ta có hệ số: a = 31,1; b = -50,9; c = 19,8
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 31,1 + \left( { – 50,9} \right) + 19,8 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {{19,8} \over {31,1}} = {{198} \over {311}} \cr} \)
Câu 38 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) \({x^2} – 6x + 8 = 0\)
b) \({x^2} – 12x + 32 = 0\)
c) \({x^2} + 6x + 8 = 0\)
d) \({x^2} – 3x – 10 = 0\)
e) \({x^2} + 3x – 10 = 0\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& {x^2} – 6x + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = 4} \right.\)
b)
\(\eqalign{
& {x_2} – 12x + 32 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 6} \right)^2} – 1.32 = 36 – 32 = 4 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 12} \cr
{{x_1}{x_2} = 32} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 4;{x_2} = 8} \right.\)
c)
\(\eqalign{
& {x^2} + 6x + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {3^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = – 6} \cr
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = – 2} \right.;{x_2} = – 4\)
d)
\({x^2} – 3x – 10 = 0;a = 1;c = – 10 \Leftrightarrow ac < 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 3} \cr
{{x_1}{x_2} = – 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = – 2} \right.;{x_2} = 5\)
e) \({x^2} + 3x – 10 = 0;a = 1;c = – 10;ac < 0\)
Phương trình có hai nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = – 3} \cr
{{x_1}{x_2} = – 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = – 5} \right.\)
Câu 39 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
a) Chứng tỏ rằng phương trình \(3{x^2} + 2x – 21 = 0\) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia
b) Chứng tỏ rằng phương trình \( – 4{x^2} – 3x + 115 = 0\) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia
Giải
a) Thay x = -3 vào vế trái của phương trình ta có:
\(3{\left( { – 3} \right)^2} + 2\left( { – 3} \right) – 21 = 27 – 6 – 21 = 0\)
Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 2x – 21 = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1}{x_2} = {{ – 21} \over 3} \Rightarrow – 3.{x_2} = {{ – 21} \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = {7 \over 3}\)
b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ta có:
\( – {4.5^2} – 3.5 + 115 = – 100 – 15 + 115 = 0\)
Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình \( – 4{x^2} – 3x + 115 = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1}{x_2} = {{115} \over { – 4}} \Rightarrow 5{x_2} = – {{115} \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = – {{23} \over 4}\)
Câu 40 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a) Phương trình \({x^2} + mx – 35 = 0\), biết nghiệm x1 = 7
b) Phương trình \({x^2} – 13x + m = 0,\) biết nghiệm x1 = 12,5
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x1 = -2
d) Phương trình \(3{x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\)
Giải
a) Phương trình \({x^2} + mx – 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = – 35 \Rightarrow 7{x_2} = – 35 \Leftrightarrow {x_2} = – 5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – m \cr
& \Rightarrow – m = 7 + \left( { – 5} \right) \Leftrightarrow – m = 2 \Leftrightarrow m = – 2 \cr} \)
Vậy m = -2 thì phương trình \({x^2} + mx – 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7 và nghiệm x2 = -5
b) Phương trình \({x^2} – 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\)
Vậy với m = 6,25 thì phương trình \({x^2} – 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5 và có nghiệm x2 = 0,5
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = – {3 \over 4} \Rightarrow – 2 + {x_2} = – {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ – {m^2} + 3m} \over 4}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ – {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} – 3m – 10 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.\left( { – 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr
& {m_2} = {{3 – 7} \over {2.1}} = – 2 \cr} \)
Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \(4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2 và nghiệm \({x_2} = {5 \over 4}\)
d) Phương trình \(3{x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 5 = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m – 3} \right)} \over 3}\)
\( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m – 3} \right)} \over 3} \Leftrightarrow 2\left( {m – 3} \right) = 16 \Leftrightarrow m – 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\)
Vậy m = 11 thì phương trình \(3{x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\).
Câu 41 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 14; uv = 40
b) \(u + v = – 7;uv = 12\)
c) \(u + v = – 5;uv = – 24\)
d) \(u + v = 4,uv = 19\)
e) \(u – v = 10,uv = 24\)
f) \({u^2} + {v^2} = 85,uv = 18\)
Giải
a) Hai số u và v có u + v = 14, uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& {x^2} – 14x + 40 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 7} \right)^2} – 1.40 = 49 – 40 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr} \)
\({x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10;{x_2} = {{7 – 3} \over 1} = 4\)
Vậy hai số: u = 10; v = 4 hoặc u = 4; v = 10
b) Hai số u và v có u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 7x + 12 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {7^2} – 4.1.12 = 49 – 48 = 1 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{ – 7 + 1} \over {2.1}} = – 3 \cr
& {x_2} = {{ – 7 – 1} \over {2.1}} = – 4 \cr} \)
Vậy hai số: u = -3; v = -4 hoặc u = -4; v = -3.
c) Hai số u và v có u + u = -5, uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x – 24 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {5^2} – 4.1.\left( { – 24} \right) = 25 + 96 = 121 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \cr
& {x_1} = {{ – 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \cr
& {x_2} = {{ – 5 – 11} \over {2.1}} = – 8 \cr} \)
Vậy hai số u = 3; v = -8 hoặc u = -8; v = 3
d) Hai số u và v có u + v = 4, uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} – 4x + 19 = 0\)
\(\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.19 = 4 – 19 = – 15 < 0\)
Phương trình vô nghiệm, không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán
e) Hai số u và v có u – v = 10 và uv = 24 suy ra: u + (-v) = 10 và u(-v) = -24 nên hai số u và –v là nghiệm của phương trình \({x^2} – 10x – 24 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 5} \right)^2} – 1.\left( { – 24} \right) = 25 + 24 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \cr
& {x_2} = {{5 – 7} \over 1} = – 2 \cr} \)
Hai số: u = 12; -v = -2 ⇒ v = 2 hoặc u = -2; v = -12 ⇒ v = -12
Vậy: u = 12; v = 2 hoặc u = -2; v = -12
f) Hai số u và v có \({u^2} + {v^2} = 85\) và uv = 18 suy ra: \({u^2}{v^2} = 324\) nên hai số \({u^2}\) và \({v^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} – 85x + 324 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 85} \right)^2} – 4.1.324 = 7225 – 1296 = 5929 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \cr
& {x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \cr
& {x_2} = {{85 – 77} \over {2.1}} = 4 \cr} \)
Hai số: \({u^2} = 81;{v^2} = 4\) hoặc \({u^2} = 4;{v^2} = 81\)
⇒ u = ± 9; v = ± 2 hoặc u = ± 2; v = ± 9
Vì uv = 18 nên u và v cùng dấu ta có:
Nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9 thì v = -2
Nếu u = 2 thì v = 9 hoặc nếu u = -2 thì v = -9
Câu 42 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) 3 và 5;
b) -4 và 7;
c) -5 và \({1 \over 3}\);
d) 1,9 và 5,1;
e) 4 và \(1 – \sqrt 2 \);
f) \(3 – \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \)
Giải
a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 3} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 3x + 15 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 15 = 0 \cr} \)
b) Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 4} \right)\left( {x – 7} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 4x – 28 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 28 = 0 \cr} \)
c) Hai số -5 và \({1 \over 3}\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 5} \right)\left( {x – {1 \over 3}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {1 \over 3}x + 5x – {5 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x – 5 = 0 \cr} \)
d) Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 1,9} \right)\left( {x – 5,1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 5,1x – 1,9x + 9,69 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 9,69 = 0 \cr} \)
e) Hai số 4 và \(1 – \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 4} \right)\left[ {x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {x – 1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x + \sqrt 2 x – 4x + 4 – 4\sqrt 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {5 – \sqrt 2 } \right)x + 4 – 4\sqrt 2 = 0 \cr} \)
f) Hai số \(3 – \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( {3 – \sqrt 5 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {3 + \sqrt 5 } \right)x – \left( {3 – \sqrt 5 } \right)x + \left( {3 – \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 4 = 0 \cr} \)
Câu 43 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình \({x^2} + px – 5 = 0\) có nghiệm là x1, x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) –x1 và –x2
b) \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\)
Giải
Phương trình: \({x^2} + px – 5 = 0\) có hai nghiệm x1 và x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {p \over 1} = – p \cr
& {x_1}{x_2} = {{ – 5} \over 1} = – 5 \cr} \) (1)
a) Hai số -x1 và –x2 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( { – {x_1}} \right)} \right]\left[ {x – \left( { – {x_2}} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( { – {x_2}x} \right) – \left( { – {x_1}x} \right) + \left( { – {x_1}} \right)\left( { – {x_2}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: \({x^2} – px – 5 = 0\)
b) Hai số \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x – {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {1 \over {{x_2}}}x – {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) \cr} \)
Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:
\(\eqalign{
& {x^2} – {{ – p} \over { – 5}}x + {1 \over { – 5}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {p \over 5}x – {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{x^2} – px – 1 = 0 \cr} \)
Câu 44 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình \({x^2} – 6x + m = 0.\) Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.
Giải
Phương trình \({x^2} – 6x + m = 0\) có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = – {{ – 6} \over 1} = 6\)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr
{{x_1} – {x_2} = 4} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2{x_1} = 10} \cr
{{x_1} – {x_2} = 4} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x_1} = 5} \cr
{5 – {x_2} = 4} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x_1} = 5} \cr
{{x_2} = 1} \cr} } \right.} \right.} \right.} \right.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {m \over 1} = m \Rightarrow m = 5.1 = 5\)
Vậy m = 5 thì phương trình \({x^2} – 6x + m = 0\) có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1} – {x_2} = 4\)
Câu 6.1 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0).\)
Điều nào sau đây đúng?
A) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
B) \({x_1} + {x_2} = – {b \over a},{x_1}{x_2} = – {c \over a}\)
C) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = – {c \over a}\)
D) \({x_1} + {x_2} = – {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
Giải
x1, x2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)
Chọn D \({x_1} + {x_2} = – {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
Câu 6.2 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình \({x^2} + px + q = 0.\) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.
Giải
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: \({x^2} + px + q = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = – {p \over 1} = – p;{x_1}{x_2} = {q \over 1} = q\)
Phương trình có hai nghiệm là \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.
Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.
\(\eqalign{
& \left( {x + p} \right)\left( {x – q} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – qx + px – pq = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {q – p} \right)x – pq = 0 \cr} \)
Phương trình cần tìm: \({x^2} + \left( {p – q} \right)x – pq = 0\)
Câu 6.3 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\)
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
a) \({x^2} – 11x + 30\)
b) \(3{x^2} + 14x + 8\)
c) \(5{x^2} + 8x – 4\)
d) \({x^2} – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3 + \sqrt 3 \)
Giải
a) Tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x1, x2 nên phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {b \over a};{x_1}{x_2} = {c \over a}(1) \cr
& a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + {b \over a}x + {c \over a}} \right)(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\eqalign{
& a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2}} \right] \cr
& = a\left[ {{x^2} – {x_1}x – {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right] \cr
& = a\left[ {x\left( {x – {x_1}} \right) – {x_2}\left( {x – {x_1}} \right)} \right] \cr
& = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) \cr} \)
Áp dụng
a)
\(\eqalign{
& {x^2} – 11x + 30 = x \cr
& \Delta = {\left( { – 11} \right)^2} – 4.1.30 = 121 – 120 = 1 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{11 + 1} \over {2.1}} = 6 \cr
& {x_2} = {{11 – 1} \over {2.1}} = 5 \cr} \)
Ta có: \({x^2} – 11x + 30 = \left( {x – 6} \right)\left( {x + 5} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 14x + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {7^2} – 3.8 = 49 – 24 = 25 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{ – 7 + 5} \over 3} = – {2 \over 3} \cr
& {x_2} = {{ – 7 – 5} \over 3} = – 4 \cr
& 3{x^2} + 14x + 8 = 3\left( {x + {2 \over 3}} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& 5{x^2} + 8x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {4^2} – 5.\left( { – 4} \right) = 16 + 20 = 36 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {36} = 6 \cr
& {x_1} = {{ – 4 – 6} \over 5} = – 2 \cr
& {x_2} = {{ – 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \cr
& \Rightarrow 5{x^2} + 8x – 4 = 5\left( {x – {2 \over 5}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {5x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& {x^2} – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3 + \sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} – 4.1.\left( { – 3 + \sqrt 3 } \right) \cr
& = 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 – 4\sqrt 3 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \cr
& {x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 – 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 – 2 \cr
& {x^2} – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3 + \sqrt 3 = \left[ {x – \left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {\sqrt 3 – 2} \right)} \right] \cr
& = \left( {x – 3 – \sqrt 3 } \right)\left( {x – \sqrt 3 + 2} \right) \cr} \)
Câu 6.4 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình
\(\left( {2m – 1} \right){x^2} – 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}).\)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Giải
Phương trình: \(\left( {2m – 1} \right){x^2} – 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2})\) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt {\Delta ‘} \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {m + 4} \right)} \right]^2} – \left( {2m – 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \cr
& = {m^2} + 8m + 16 – 10{m^2} – 4m + 5m + 2 \cr
& = – 9m + 9m + 18 \cr
& = – 9m\left( {{m^2} – m – 2} \right) \cr
& = – 9\left( {m – 2} \right)\left( {m + 1} \right) \cr
& \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow – 9\left( {m – 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m – 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0 \cr} \)
\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{
{m – 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr} } \right.\) hoặc
\(\left\{ {\matrix{
{m – 2 \le 0} \cr
{m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)
\(\left\{ {\matrix{
{m – 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ge 2} \cr
{m \le – 1} \cr} } \right.} \right.\)
vô nghiệm
\(\left\{ {\matrix{
{m – 2 \le 0} \cr
{m + 1 \ge 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \le 2} \cr
{m \ge – 1} \cr} \Leftrightarrow – 1 \le m \le 2} \right.} \right.\)
Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m – 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m – 1}}\)
c) Đặt \({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P\)
\(S = {{2m + 8} \over {2m – 1}} \Leftrightarrow 2mS – S = 2m + 8 \Leftrightarrow 2m\left( {S – 1} \right) = S + 8\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2m + 8 \ne 2m – 1 \Rightarrow S \ne 1 \cr
& \Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S – 1} \right)}} \cr} \)
Thay vào biểu thức P ta có:
\(\eqalign{
& P = {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S – 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S – 1} \right)}} – 1}} = {{5S + 40 + 4S – 4} \over {2S + 16 – 2S + 2}} = {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \cr
& \Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P – S = 4 \cr
& \Rightarrow 2{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4 \cr} \)
Biểu thức không phụ thuộc vào m
Trả lời