Bài 2. Tập hợp – Toán 10

1. Định nghĩa

Là một nhóm các phần tử có cùng tính chất hoặc có cùng một đặc điểm nào đó. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: $A,B,C,…$

Cho tập hợp $A$,

+ Nếu \(a\) là phần tử thuộc tập $A$  ta viết \(a \in A\)

+ Nếu \(a\) là phần tử không thuộc tập $A$ ta viết \(a \notin A\)

2. Cách xác định tập hợp

Có 2 cách để xác định tập hợp:

a) Liệt kê: Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu \(\left\{ {} \right\}\), các phần tử cách nhau bởi dấu “,”.

b) Nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

Ta thường minh họa tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.

3. Tập hợp rỗng

Là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là \(\emptyset \).

\(A \ne \emptyset  \Leftrightarrow \exists x:x \in A\)

4. Tập con của một tập hợp

Tập hợp $A$  là con của tập hợp $B$  hay còn gọi tập $B$  là tập cha của tập $A$. Kí hiệu: \(A \subset B\).

\(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x \in A \Rightarrow x \in B} \right)\)

+) \(\emptyset  \subset A,\forall A\)

+) ${\rm{A}} \subset {\rm{A,}}\forall {\rm{A}}$

+) $A \subset B,B \subset C \Rightarrow A \subset C$ (bắc cầu).

+ Số tập con của một tập hợp: Tập hợp $A$ gồm có $n$ phần tử thì số tập con của tập hợp $A$ là \(P\left( A \right) = {2^n}\).

+ Số phần tử của một tập hợp \(A\) là \(n(A)\) hoặc \(\left| A \right|\)

5. Hai tập hợp bằng nhau

\(A = B \Leftrightarrow \forall x,\left( {x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \subset B\\B \subset A\end{array} \right.\)

– Tâp hợp con: A ⊂ B ⇔ (∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B)

– Tập hợp bằng nhau: A = B ⇔ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B)

– Nếu tập hợp có n phần tử thì nó có 2ⁿ tập hợp con.

Ví dụ 1:  Liệt kê các phần tử của tập hợp:

a. A = { x ∈ N | x < 20 và x chia hết cho 3}.

b. B = { x ∈ N | 2x² – 3x + 1} .

Hướng dẫn:

a. Tập hợp A gồm các phần tử là số tự nhiên nhỏ hơn 20 và chia hết cho 3.

Vậy A = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18}.

b. Tập hợp B gồm các phần tử là các số thực thỏa mãn phương trình 2x² – 3x + 1 = 0 .

Ta có: phương trình 2x² – 3x + 1 có nghiệm x = 1 hoặc x = 1/2

Mà x ∈ Z nên x = 1.

Vậy B = {1}.

Ví dụ 2:  Tìm một tích chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp sau: \(A=\left\{ \frac{1}{2};\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{1}{20};\frac{1}{30} \right\}\)

Hướng dẫn:

Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5; 30 = 5.6

Suy ra dạng tổng quát của dãy trên là: \(\frac{1}{n(n+1)}\) với n là số tự nhiên và 1 ≤ n ≤ 5 .

Vậy A = \(\left\{ \frac{1}{n(n+1)}\left| n\in N;1\le n\le 5 \right. \right\}\)  .

Ví dụ 3:  Cho tập hợp X = {a; b; c}. Tìm tất cả các tập hợp con của X.

Hướng dẫn:

– Số tập con không có phần tử nào là: ∅

– Số tập con có 1 phần tử là: {a}; {b}; {c} .

– Số tập con có 2 phần tử là: {a; b}; {a; c}; {b; c}.

– Số tập con có ba phần tử là: {a; b; c}.

Vậy các tập con của X là: ∅ ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}.

Ví dụ 4:  Cho tập hợp A = {1; 3}; B = {3; x}; C = {x; y; 3}. Xác định x, y để A = B = C

Hướng dẫn:

Để A = B thì x = 1. Khi đó B = {3; 1}..

Để B = C thì x = 1; y = 3 hoặc y = 1. Khi đó C = {1; 3; 3} hoặc C = {1; 1; 3} .

Vậy để A = B = C thì x = 1; y = 3 hoặc y = 1.

Ví dụ 5:

Cho các tập hợp sau:

a) Tập hợp A là các nghiệm của phương trình \((x + 1)(x + 3)\left( {x – \frac{1}{2}} \right) = 0.\)

b) Tập \(B = \left\{ {m \in \mathbb{Z}|{m^2} \le 50} \right\}\)

Hãy liệt kê tất cả các phần tử của chúng.

Hướng dẫn giải:

a) \(A = \left\{ { – 3; – 1;\frac{1}{2}} \right\}\)

b) \(B = \left\{ { – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}.\)

 

Ví dụ 6:

Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp \(A = \left\{ { – 3;0;2} \right\}.\)

Hướng dẫn giải:

Tập A có 8 tập hợp con là: \(\emptyset ,\left\{ { – 3} \right\},\left\{ 0 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ { – 3;0} \right\},\left\{ { – 3;2} \right\},\left\{ {0;2} \right\},\left\{ { – 3;0;2} \right\}.\)

 

Ví dụ 7:

Tìm các tính chất đặc trưng của các tập hợp sau:

a) \(A = \left\{ {1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{1}{5};\frac{1}{6}} \right\}\)

b) \(B = \left\{ {\frac{5}{4};\frac{{10}}{9};\frac{{17}}{{16}};\frac{{26}}{{25}};\frac{{37}}{{36}};\frac{{50}}{{49}}} \right\}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(A = \left\{ {\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N},1 \le n \le 6} \right\}.\)

b) \(B = \left\{ {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}|n \in \mathbb{N},2 \le n \le 7} \right\}.\).

---

Câu 1:  Cho tập hợp A = {x + 1 | x ∈ N, x ≤ 5}. Liệt kê các phần tử của tập hợp A :

A. A = {1; 2; 3; 4; 5}.

B. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

C. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

D. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Vì x ∈ N, x ≤ 5 nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ (x + 1) ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Vậy A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Câu 2:  Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = {x ∈ R | x2 + x + 1 = 0}:

A. X = 0.

B. X = {0}.

C. X = ∅ .

D. X = {∅} .

Hướng dẫn:

Chọn C.

Phương trình x² + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X ∈ ∅ .

Câu 3:  Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

A. A = {x ∈ Z: |x| < 1}.

B. B = {x ∈ Z: 6×2 – 7x + 1 = 0} .

C. C = {x ∈ Q: x2 – 4x + 2 = 0}.

D. D = {x ∈ R: x2 – 4x + 3 = 0}

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có: x² – 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± √2 ( không thỏa mãn x ∈ Q). Vậy tập hợp C là tập rỗng.

– Đáp án A: x ∈ Z, |x| < 1 ⇔ -1 < x < 1 ⇒ x = 0. Vậy tập hợp A không là tập rỗng.

– Đáp án B: Giải phương trình: 6x² – 7x + 1 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{1}{6}
\end{array} \right.\) . Do x ∈ Z nên x = 1. Vậy tập hợp B không là tập rỗng.

– Đáp án D: Giải phương trình: x² – 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.\) (thỏa mãn x ∈ R). Vậy tập hợp D không là tập rỗng.

Câu 4:  Cho tập hợp M = {(x; y)} | x, y ∈ R, x² + y² ≤ 0. Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn

Chọn B.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ge 0\\
{y^2} \ge 0
\end{array} \right.\) nên x² + y² ≤ 0 ⇔ X = y = 0 .

Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là {(0;0)} .

Câu 5:  Cho các mệnh đề sau:

(I): {2; 1; 3} = {1; 2;3}

(II): ∅ ⊂ ∅

(III): ∅ ∈ {∅}

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (I) và (II) đúng.

C. Chỉ (I) và (III) đúng.

D. Cả (I), (II); (III) đều đúng.

Hướng dẫn:

Chọn D.

(I) đúng do hai tập hợp đã cho có tất cả các phần tử giống nhau.

(II) đúng do mọi tập hợp đều là tập con của chính nó.

(III) đúng vì phần tử ∅ thuộc tập hợp {∅}.

Câu 6:  Cho các tập hợp E, F, G, K thỏa mãn: E ⊂ F, F ⊂ G và G ⊂ K . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. G ⊂ F .

B. K ⊂ G .

C. E = F = G.

D. E ⊂ K .

Hướng dẫn:

Chọn D.

Theo tính chất của tập hợp con, ta thấy:

Do E ⊂ F và F ⊂ G  nên E ⊂ G .

Do E ⊂ G và G ⊂ K (theo đề bài) nên E ⊂ K .

Câu 7:  Cho tập hợp A = {a; b; c; d}. Tập A có mấy tập con?

A. 16.

B. 15.

C. 12.

D. 10.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Nếu tập hợp có n phần tử thì nó có 2ⁿ tập hợp con.

Vậy số tập con của tập A là: 2⁴ = 16 .

Câu 8:  Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

A. {x; y} .

B. {x}.

C. {∅; x} .

D. {∅; x; y} .

Hướng dẫn:

Chọn B.

Xét đáp án B: {x} có 2¹ = 2 tập con là và ∅ .

Xét đáp án A: {x; y} có  2² = 4 tập con.

Xét đáp án C: {∅; x}  có  2² = 4 tập con.

Xét đáp án D: {∅; x; y}  có 2³ = 8 tập con.

Câu 9:  Số phần tử của tập hợp A = {k² + 1| k ∈ Z, |k| ≤ 2} là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn: 

Chọn C.

A = {k² + 1| k ∈ Z, |k| ≤ 2} .

Ta có |k| ≤ 2 ⇔ -2 ≤ k ≤ 2. Mà k ∈ Z nên k ∈ {-2; -1; 0; 1; 2}

Suy ra (k² + 1) ∈ {5; 2; 1; 2; 5} . Vậy A = {1; 2; 5}. Số phần tử của tập A là 3.

Câu 10:  Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4}; B = {0; 2; 4}; C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Quan hệ nào sau đây là đúng?

A. B ⊂ A ⊂ C .

B. B ⊂ A = C .

C. \(\left\{ \begin{array}{l}
A \subset C\\
B \subset C
\end{array} \right.\).

D. A ∪ B = C .

Hướng dẫn:

Chọn C. Ta thấy mọi phần tử của tập hợp A  đều thuộc tập hợp C và mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp C. Vậy A và B đều là tập hợp con của tập hợp C.