CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – ôn tập vào lớp 10 chuyên

I) Khái niệm
– Phương trình vô tỉ là phương trình có ẩn dưới dấu căn
II) Các phương pháp giải cơ bản
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa​
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$ (1)
$(1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x})^{3}=1$
$\Leftrightarrow 2x+1+x+3\sqrt[3]{(2x+1)x}(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x})=1$ (*)
$\Rightarrow 3x+3\sqrt[3]{(2x+1)x}.1=0$ (**) ( vì $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$ )
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(2x+1)x}=-x$
$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{(2x+1)x})^{3}=(-x)^{3}$
$\Leftrightarrow (2x+1)x=-x^{3}$
$\Leftrightarrow x(x+1)^{2}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc x=-1
Thử lại:
x=-1 không thỏa mãn
x=0 thoản mãn
Vậy S={0}

Phân tích hướng suy nghĩ:

• Ở đây, khi nhìn thấy VT của (1) là 2 căn thức bậc ba còn VP của (1) thì là 1 ta sẽ nghĩ ngay đến việc lập phương 2 vế. Sau đó áp dụng HĐT đã học $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ vào VT thì thu được (*)
• Lại để ý tiếp ta có thể thay $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$ vào (*) nhưng vì đây là phương trình đã cho lúc đầu mà ta lại không chắc chắn rằng phương trình ấy luôn có nghiệm dẫn đến phải sử dụng dấu $\Rightarrow$ để có (**)
• Đến đây ta thu được một phương trình ngắn gọn, khá nhẹ nhàng. Chuyển vế rồi lập phương thêm một lần nữa ta thu được phương trình bậc ba. Có thể nhẩm nghiệm để tách phương trình này thành phương trình tích hoặc sử dụng máy tính CASIO ( hoặc VINACAL) để hỗ trợ việc tách.
• Rất may mắn, nghiệm của phương trình này rất đẹp.
• Thử lại các giá trị x vừa tìm được và rút gọn.

Ghi chú: Trong ví dụ trên có thể có bạn không thử lại các giá trị x vừa tìm được dẫn đến kết luận sai nghiệm của phương trình. Lí do: Khi thay $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$ vào (**) thì các bạn không để ý rằng chắc gì phương trình đã cho đã có nghiệm vậy nên bước thay đó ta phải dùng dấu $\Rightarrow$ và khi tìm được nghiệm của (**) ta phải thử lại kết quả vào phương trình đã cho.

2. Phương pháp đưa về phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ)
Ví dụ 2: Giải phương trình sau $\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{x^{2}-6x+9}=1$ (2)
$(2)\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left | x-1 \right |+\left | x-3 \right |=1$
$\Leftrightarrow ….$
Đến đây thì lập bảng xét dấu rồi giải
============
Phân tích hướng suy nghĩ:

• Nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn đều có thể đưa về HĐT dạng $(a-b)^{2}$ ta liền đưa chúng về dạng như vậy.
• Áp dụng $\sqrt{A^{2}}=\left | A \right |$ vì ta chưa rõ dấu của A
• Phương trình đã cho giờ đã trở thành phương trình chứa dấu GTTĐ.
• Lập bảng xét dấu để phá dấu GTTĐ và giải phương trình.

a, Đặt ẩn phụ thông thường
Ví dụ 3: Giải phương trình sau $3x^{2}+21x+18+2\sqrt{x^{2}+7x+2}=2$ (3)
$(2)\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \left | x-1 \right |+\left | x-3 \right |=1$
$\Leftrightarrow ….$
Đến đây thì lập bảng xét dấu rồi giải
==========
Phân tích hướng suy nghĩ:

• Để ý rằng $3x^{2}+21x+18=3(x^{2}+7x+2)+12$ mà biểu thức dưới dấu căn lại chính là $x^{2}+7x+2$ nên ta nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ để thu gọn phương trình đã cho $\sqrt{x^{2}+7x+2}=a(a\geq 0)\Rightarrow 3(x^{2}+7x+2)+12=3a^{2}+12$
• Sau khi đặt xong thì thu được bậc 2, 1 ẩn, dễ giải.

b, Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2
Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $5\sqrt{x^{3}+1}=2(x^{2}+2)$ (4)
ĐKXĐ: $x\geq -1$
(4) $\Leftrightarrow 5\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}=2(x^{2}+2) (*)$
Đặt $\sqrt{x+1}=a(a\geq );\sqrt{x^{2}-x+1}=b(b>0)$
$(*)\Leftrightarrow 5ab=2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0\Leftrightarrow …$
========
Phân tích hướng suy nghĩ:

• Biểu thức dưới dấu căn: $x^{3}+1$ chính là HĐT quen thuộc $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ nên ta tách $\sqrt{x^{3}+1}=\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$
• Nhận ra 1 điều thú vị rằng: $(\sqrt{x+1})^{2}+(\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}=x^{2}+2=\frac{VP}{2}$ nên ta nghĩ đến việc biến đổi VP về $2(\sqrt{x+1})^{2}+(\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}$
• Phương trình khi đó khá cồng kềnh => nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đẻ thu gọn phương trình lại
• Sau khi đặt, ta thu được 1 phương trình đẳng cấp bậc 2. Dạng tổng quát của nó $ma^{2}+nab+qb^{2}=0(m;q;n\neq 0)$ (1)

*Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2:
Với b=0 thử trực tiếp
Với $b\neq 0$ thì $(1)\Leftrightarrow m(\frac{a}{b})^{2}+n.\frac{a}{b}+q=0$. coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $\frac{a}{b}$ rồi giải như thường.

• Đến đây thì trở lại cách đặt và giải tiếp thôi ~

c, Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 5: Giải phương trình sau: $x^{2}+(3-\sqrt{x^{2}+2})x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$ (5)
Đặt $\sqrt{x^{2}+2}=a(a\geq \sqrt{2})$
$(5)\Leftrightarrow x^{2}+2-(2+x)\sqrt{x^{2}+2}-3+3x=0\Leftrightarrow a^{2}-(2+x)a-3+3x=0\Leftrightarrow (a-3)(a-x+1)=0\Leftrightarrow …$

Phân tích hướng suy nghĩ:

• Để ý rằng cả 2 vế của phương trình đã cho đều có $\sqrt{x^{2}+2}$ => nghĩ đến việc đặt ẩn phụ $\sqrt{x^{2}+2}=a(a\geq \sqrt{2})$
• Sau khi đặt ta thu được 1 phương trình bậc 2 ẩn a tham số x => nghĩ đến việc phân tích phương trình này thành phương trình tích. Thật may mắn vì $\Delta _{a}=(x-4)^{2}$ nên phương trình đó có nghiệm là $a_{1}=3;a_{2}=x-1$ => phương trình đó có thể tách được thành $(a-3)(a-x+1)=0$
• Từ đây thì dễ rồi nha

4. Phương pháp đưa về hệ phương trình​
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{(x+1)^{2}}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x^{2}-1}=1$ (7)
Đặt $\sqrt[3]{x+1}=a;\sqrt[3]{x-1}=b$
Khi đó, ta có: $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+ab=1(*)\\ a^{3}-b^{3}=2 \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+ab=1\\ (a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)=2 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow a-b=2$
$\Leftrightarrow a=b+2$
Thay vào (*) và giải….
============
Ví dụ 7: Giải phương trình sau: $2x^{2}-6x-1=\sqrt{4x+5}$ (8)
ĐKXĐ: $x\geq \frac{-5}{4}$
(8) $\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=2\sqrt{4x+5}+11$
Đặt $\sqrt{4y+5}=2y-3(y\geq \frac{3}{2})$
Khi đó, ta có:
$\left\{\begin{matrix} (2x-3)^{2}=4y+5 (*)\\ (2y-3)^{2}=4x+5 (**) \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế của (*) và (**)
$ \Rightarrow (x-y)(x+y-1)=0$
$\Leftrightarrow …$

5. Phương pháp dùng BĐT​

a, Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 8: Giải phương trình sau: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$ (9)
Có: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}=\sqrt{3(x+1)^{2}+4}\geq \sqrt{4}=2$ vợi mọi x
$\sqrt{5x^{2}+10x+14}=\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{9}=3$ với mọi x
$\Rightarrow VT\geq 5$
$VP=4-2x-x^{2}= 5-(1+x)^{2}\leq 5$
Để $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$ $\Leftrightarrow x=-1$
Vậy S={1}
=========
b, Sử dụng các BĐT đã biết
Ví dụ 9: Giải phương trình: $\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=2$
Áp dụng BĐT AM-GM cho VT. Rồi chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào.
============
c, Chứng tỏ phương trình vô nghiệm vì có 1 vế luôn nhỏ hơn vế kia
Ví dụ 10: Giải phương trình: $\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}$ (11)
ĐKXĐ: $x\geq 1$
Với $x\geq 1\Rightarrow x< 5x\Leftrightarrow x-1< 5x-1\Rightarrow \sqrt{x-1}<\sqrt{5x-1}\Rightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}<0$ Với $x\geq 1\Rightarrow \sqrt{3x-2}>0$
Suy ra: (11) vô nghiệm
============
6. Phương pháp đưa về dạng $A^{2}+B^{2}=0$
Ví dụ 11: Giải phương trình $x^{2}+4x+5=2\sqrt{2x+3}$ (12)
ĐKXĐ:….
$(12)\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(\sqrt{2x+3}-1)^{2}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=0\\\sqrt{2x+3}-1=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow …\Leftrightarrow x=-1$

7. Phương pháp đưa về phương trình tích​
Ví dụ 12: Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+3x}+2\sqrt{x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5}$ (13)
ĐKXĐ: x>0
$(13)\Leftrightarrow \sqrt{x(x+3)}+2\sqrt{x+2}=2x+\sqrt{\frac{x^{2}+6+5x}{x}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x(x+3)}+2\sqrt{x+2}-2x-\sqrt{\frac{(x+3)(x+2)}{x}}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+3}{x}}(x-\sqrt{x+2})-2(x-\sqrt{x+2})=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{\frac{x+3}{x}}-2)(x-\sqrt{x+2})=0$
$\Leftrightarrow …$

8. Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức
Ví dụ 13: Giải phương trình $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$ (14)
ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$ hoặc $x\leq -2$
(14) $\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}+\sqrt{x+6})(\sqrt{2x-1}-3)=4$
$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+6}}((\sqrt{2x-1}-3))=4$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}-3=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+6}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}-\sqrt{x+6}=3-\sqrt{x+2}$
$\Leftrightarrow \frac{x-7}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}=\frac{7-x}{3+\sqrt{x+2}}$
$\Leftrightarrow (x-7)(\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}+\frac{1}{3+\sqrt{x+2}})=0$
$\Leftrightarrow x=7$ ( vì $\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}+\frac{1}{3+\sqrt{x+2}}>0$ với mọi x)