I) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1.Dạng $\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{matrix}\right.$
2.Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số
– Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp ( nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
– Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0
– Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho
Cách 2: Sử dụng phương pháp thế
– Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn
– Giải hệ phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Cách 3: Sử dụng phương pháp đồ thị
Cách 4: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3.Ví dụ:
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left | x+1 \right |+\sqrt{y}=5(1)\\ (x^{2}+2x+1)y=36(2) \end{matrix}\right.$
ĐKXĐ: $y\geq 0$
Ta có (2) $\Leftrightarrow (x+1)^{2}y=6\Leftrightarrow \left | x+1 \right |\sqrt{y}=6$
Đặt $a=\left | x+1 \right |;b=\sqrt{y}(a,b\geq 0)$
Khi đó, ta có hpt $\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ ab=6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5-b\\ (5-b)b=6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5-b\\ (2-b)(b-3)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\b=2 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=2\\b=3 \end{matrix}\right.$
Trở lại cách đặt…
II) Hệ phương trình đối xứng loại 1
1. Định nghĩa
Một hệ phương trình hai ẩn x;y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y ( nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y cho nhau)
2. Tính chất
Nếu $(x_{0};y_{0})$ là một nghiệm của hệ thì $(y_{0};x_{0})$ cũng là nghiệm của hệ
3. Cách giải thường dùng
Đặt x+y=S và xy=P với ĐK $S^{2}\geq 4P$
4. Ví dụ
VD1: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=11\\x^{2}+y^{2}+3(x+y)=28 \end{matrix}\right.$
Hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+xy=11\\ (x+y)^{2}-2xy+3(x+y)=28 \end{matrix}\right.$
Đặt x+y=S và xy=P với ĐK $S^{2}\geq 4P$
Khi đó ta có $\left\{\begin{matrix} S+P=11\\S^{2}-2P+3S=28 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P=11-S\\ S^{2}-2(11-S)+3S=28 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P=11-S\\ (S-5)(S+10)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P=21\\ S=-10 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} P=6\\S=5 \end{matrix}\right.$
Trở lại cách đặt …
VD2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}+x-y=5\\ x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}=6 \end{matrix}\right.$
HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{2}-y^{2})+(x-y)=5\\ (x^{2}-y^{2})(x-y)=6 \end{matrix}\right.$
Đặt $x^{2}-y^{2}=a;x-y=b$
Khi đó $\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ab=6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow …\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=3\\b=2 \end{matrix}\right.$
TH1: $\left\{\begin{matrix} a=2\\b=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=2\\x-y=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{2}{3}\\x-y=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{11}{6}\\ y=\frac{-7}{6} \end{matrix}\right.$
TH2: $\left\{\begin{matrix} a=3\\b=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=3\\x-y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{3}{2}\\x-y=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{7}{4}\\ y=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.$
VD3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+6(x-1)y+4y^{2}=20\\ x^{2}+(2y+1)^{2}=2 \end{matrix}\right.$
Đặt a=x-1; b=2y thì hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+3ab+b^{2}=20\\ (a+1)^{2}+(b+1)^{2}=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^{2}+ab=20\\ (a+b)^{2}-2ab+2(a+b)=0 \end{matrix}\right.$ (*)
Đặt a+b=S; ab=P với $S^{2}\geq 4P$
Khi đó $(*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S^{2}+P=20\\S^{2}-2P+2S=0 \end{matrix}\right.$
III) Hệ phương trình đối xứng loại 2
1. Định nghĩa
Một hệ phương trình hai ẩn x;y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình, khi đổ vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia
2. Tính chất
Nếu $(x_{0};y_{0})$ là một nghiệm của hệ thì $(y_{0};x_{0})$ cũng là nghiệm của hệ
3.Cách giải thường dùng
Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận được phương trình tích dạng $(x-y).f(x;y)=0$
4. Ví dụ :
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=2y(1)\\y^{3}+1=2x \end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế, ta có:
$x^{3}-y^{3}=2(y-x)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+2)=0\Leftrightarrow x-y=0$ ( vì $x^{2}+xy+y^{2}+2>$)
$\Leftrightarrow x=y$\Thay vào phương trình (1) ta được
$x^{3}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+x-1)=0$
TH1: x-1=0 <=> x=1 => y=1
TH2: $x^{2}+x-1=0\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
Vậy hpt có nghiệm…
IV) Hệ phương trình đẳng cấp
Đa thức hai biến x và y có dạng $A(x,y)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n+1}u+a_{n-2}x^{n-2}y^{2}+…+a_{2}x^{2}y^{n-2}+a_{1}xy^{n-1}+a_{0}y^{n}$
trong đó n là số tự nhiên, $a_{0};a_{1};..;a_{n}$ là những số thực không đồng thời bằng 0, được gọi là đa thức đẳng cấp bậc n
1. Định nghĩa
Đa thức hai biến x và y có dạng $\left\{\begin{matrix} f_{1}(x,y)=g_{1}(x,y)\\ f_{2}(x,y)=g_{2}(x;y) \end{matrix}\right.$
trong đó $f_{1}(x,y)$ và $f_{2}(x,y)$ là 2 đa thức đẳng cấp cùng bậc; $g_{1}(x,y)$ và $g_{2}(x,y)$ là 2 đa thức đẳng cấp cùng bậc
2. Cách giải
– Khử hạng tử tự do để dẫn tới phương trình
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n+1}u+a_{n-2}x^{n-2}y^{2}+…+a_{2}x^{2}y^{n-2}+a_{1}xy^{n-1}+a_{0}y^{n}=0$ (3)
– Trường hợp y=0, ta xét trực tiếp
– Trường hợp $y\neq 0$ thì đặt $t=\frac{x}{y}$ . Ta nhận được hệ phương trình mới ( ẩn t và y) tương đối đơn giản và dễ giải hơn
– Khử y và giải phương trình ẩn t, rồi tìm y và x theo t đã biết
3. Ví dụ
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+3xy+y^{2}=15(1)\\ x^{2}+xy+2y^{2}=8(2) \end{matrix}\right.$
Hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 16x^{2}+24xy+8y^{2}=120\\ 15x^{2}+15xy+30y^{2}=120 \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế, ta được $x^{2}+9xy-22y^{2}=0$ (3)
Xét y=0 không là nghiệm của hệ đã cho
Xét $y\neq 0$ khi đó $(3)\Leftrightarrow (\frac{x}{y})^{2}+9\frac{x}{y}-22=0$
Đặt $t=\frac{x}{y}$ thì $t^{2}+9t-22=0\Leftrightarrow (t-2)(t+11)=0\Leftrightarrow …$
Trả lời