Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I) Áp dụng tính chia hết
Các tính chất thường dùng
Với a,b,c,d là các số nguyên, ta luôn có:
- Nếu $a\vdots c$ và $a\pm b\vdots c$ thì $b\vdots c$
- Nếu $a\vdots b;b\vdots c$ thì $a\vdots c$
- Nếu $ab\vdots c$ mà (a;c)=1 thì $b\vdots c$
- Nếu $a\vdots b$ và $c\vdots d$ thì $ab\vdots cd$
- Nếu $a\vdots b$ và $a\vdots c$ mà (b;c)=1 thì $a\vdots bc$
- Trong m số nguyên liên tiếp, bao giê cũng tồn tại một số là bội của m.
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x+17y=159 (1)
Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1).
Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 5
$\Rightarrow y\vdots 3$ ( vì (17;5)=1)
Đặt y = 5t (t ∈ Z).
Thay vào phương trình (1), ta được
$3x+17.3t=159\Leftrightarrow 3x=159-51t\Leftrightarrow x=53-17t$
Do đó, phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên biểu diễn dưới dạng (x;y) = (53-17t;3t) với t ∈Z
===========
*Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 35x+20y=600
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên 11x+18y=120
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 12x-7y=45
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $xy-x-y=2$ (2)
$(2)\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=3$
Vì x,y nguyên nên x-1 và y-1 nguyên và là các ước của 3
Mà Ư(3)={$\pm 1;\pm 3$ } nên ta có bảng sau
x-1 1 -1 3 -3
x 2 0 4 -2
y-1 3 -3 1 -1
y 4 -2 2 0
Kết luận
*Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 2x+5y+3xy=8
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}-y^{2}=2013$
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{6} + 3x^{3} + 1 = y^{4}$
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên $x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y^{2}$
Bài 5. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2} +3xy−y^{2} +2x−3y = 5$.
Ví dụ 3: Tìm các số nguyên dương x,y sao cho 6x + 5y + 18 = 2xy (3)
$(3)\Leftrightarrow x(6-2y)=-5y-18\Leftrightarrow x=\frac{-5y-18}{6-2y}\Leftrightarrow 2x=\frac{-10y-36}{6-2y}\Leftrightarrow 2x=\frac{-66+5(6-2y)}{6-2y}\Leftrightarrow 2x=\frac{-33}{3-y}+5$
Để x nguyên dương thì 3-y phải là ước của -33 hay 3-y thuộc {$\pm 1;\pm 3;\pm 11;\pm 33$ }
Mà $y\geq 1\Rightarrow 3-y\leq 2$
nên 3-y thuộc {$\pm 1;-3;-11;-33$ }
=============
*Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2} −xy = 6x−5y−8$
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $ x^{2} + x + 1 = 2xy + y$
II) Xét số dư ở từng vế
*Phương pháp này chủ yếu dùng cho các bài phương trình không có nghiệm nguyên. Vậy nên khi bạn bắt gặp một phương trình bất kì mà bạn không thể tìm ra được nghiệm cho phương trình đó, thì hãy nghĩ đến phương pháp này đầu tiên.
1. Đối với phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các bình phương thì ta thường xét đồng dư với 3,4,5,8.
Cụ thể là: $a^{2}$ ≡ 0,1 (mod 3)
$a^{2}$ ≡ 0,1 (mod 4)
$a^{2}$ ≡ 0,1,4 (mod 5)
$a^{2}$ ≡ 0,1,4 (mod 8)
2. Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì ta thường xét đồng dư với 9, vì $x^{3}$ ≡ 0;1;8 (mod 9) và đồng dư với 7, vì $x^{3}$ ≡ 0,1,6 (mod 7).
3. Đối với phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các lũy thừa bậc 4 thì ta thường xét đồng dư với 8, như: $x^{4}$ ≡ 0,1 (mod 8).
4. Định lí Fermat: Đối với phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các lũy thừa có số mũ là một số nguyên tố hay là một số mà khi cộng 1 vào số đó ta được một số nguyên tố thì ta thường sử dụng định lí nhỏ Fermat để xét đồng dư.
Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên $9x+2=y^{2}+y$
===========
Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình $4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+4$ (5)không có nghiệm nguyên
Giải sử có các số nguyên x;y;z thỏa mãn (5)
$(5)\Leftrightarrow (2x+1)^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5(*)$
+)Vì x nguyên nên 2x+1 là số lẻ
$\Rightarrow (2x+1)^{2}$ là số chính phương lẻ
$\Rightarrow (2x+1)^{2}$≡ 1 (mod 8)
Hay VT chia 8 dư 1 (*)
+)Ta có: $8y^{3}\vdots 8$
Nếu x là số nguyên lẻ $\Rightarrow 2z^{2}$ ≡ 2 (mod 8) $\Rightarrow VP$ chia 8 dư 7
Nếu x là số nguyên chẵn $\Rightarrow 2z^{2}\vdots 8$ khi đó VP chia 8 dư 5
Suy ra VP của (5) là số chia 8 dử 5 hoặc 7 ( trái với (*))
=> Điều giải sử là sai.
======
*Bài tập đề nghị
Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(2^{x} + 1)(2^{x} + 2)(2^{x} + 3)(2^{x} + 4)−5^{y} = 11879$
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 1012$
II) Dùng Bất đẳng thức
*Đối với các phương trình mà các ẩn có vai trò như như nhau thì thường sử dụng phương pháp này.
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x+y+z=xyz
Vì x,y,z có vai trò như nhau nên giả sử $1\leq x\leq y\leq z$
Do đó $xyz=x+y+z\leq 3z\Leftrightarrow xy\leq 3\Rightarrow$ xy thuộc {1;2;3}
+) Với xy=1 $\Rightarrow x=y=1$ . Thay vào (6) được 2+z=z => z=0 ( vô lý)
+) Với xy=2 $\Rightarrow x=1;y=2$ . Thay vào (6) được 3+z=2z => z=3 (thỏa mãn)
+) Với xy=3 $\Rightarrow x=1;y=3$ . Thay vào (6) được 4+z=3z => z=2 (loại)
Vậy nghiệm nguyên (x;y;z) của (6) là (1;2;3) và các hoán vị của nó
==========
*Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2(x+y+z)+9 = 3xyz.
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương xyz = 3(x + y + z).
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt
*Thường sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá một vế của phương trình không nhỏ hơn (hoặc không lớn hơn) vế còn lại. Muốn cho hai vế bằng nhau thì bất đẳng thức phải trở thành đẳng thức
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x + y + 1)^{2} = 3(x^{2} + y^{2} + 1)$
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
$(x+y+z)^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}+1)=3(x^{2}+y^{2}+1)$
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1
*Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^{2} + 1)(y^{2} + 4)(z^{2} + 9) = 48xyz$
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3$
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3(x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2} + 2) = 2(x^{2} −x + 1)(y^{2} −y + 1)$
Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2^{x}+3^{x}=5^{x}$ với x là số tự nhiên
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
$(x+y+z)^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}+1)=3(x^{2}+y^{2}+1)$
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1
=============
*Bài tập đề nghị
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $(\sqrt{3})^{x}+(\sqrt{4})^{x}=(\sqrt{5})^{x}$
Ví dụ 9: Giải phương trình nghiệm nguyên $x+y+xy=x^{2}+y^{2}$ (9)
$(9)\Leftrightarrow x^{2}-(y+1)x+(y^{2}-y)=0$
$\Delta_{x} =(-y-1)^{2}-4(y^{2}-y)=-3y^{2}+6y+1$
Để (9) có nghiệm thì $\Delta _{x}\geq 0\Leftrightarrow -3y^{2}+6y+1\geq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq 2$
+) Với y=0 thì $(9)\Leftrightarrow x=x^{2}\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow …$
+) Với $y=1\Rightarrow (9)\Leftrightarrow x+1+x=x^{2}+1\Leftrightarrow x(x-2)=0\Leftrightarrow …$
+) với y=2 thì $(9)\Leftrightarrow x+2x+2x=x^{2}+4\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow …$
===============
Ví dụ 10: Giải phương trình nghiệm nguyên $3x^{2} −y^{2} −2xy−2x−2y + 8 = 0$ (10)
Ta có (10)$\Leftrightarrow y^{2}+2(x+1)y-(3x^{2}-2x+8)=0$
$\Delta ‘_{y}=(x+1)^{2}+3x^{2}-2x+8=4x^{2}+9$
Để (10) có nghiệm thì $\Delta ‘_{y}=4x^{2}+9$ là số chính phương.
Đặt [tex4x^{2}+9=k^{2}$ với k ∈N, ta đưa về phương trình ước số và tìm được x ∈{2;0;−2}.
+)Với x = 2 ta được $y^{2} + 6y−16 = 0$ nên y ∈{−8;2}.
+)Với x = 0 thì $y^{2} + 2y−8 = 0$ nên y ∈{−4;2}.
+)Với x = −2 thì $y^{2} −2y−24 = 0$ nên y ∈{−6;4}.
*Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $10x^{2} + 5y^{2} + 38 − 12xy + 16y−36x = 0$
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên phương trình $9x^{2} +x^{2} +4y^{2} +34−12xy+ 20y−36x = 0 $
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của $x + 2y^{2} + 3xy + 3x + 5y = 14$
Để lại phản hồi