I. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
– Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
– Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
– Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
– Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố.
2. Một số định lý cơ bản
– Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn (không có số nguyên tố nào là lớn nhất)
– Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q hoặc số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p thì p = q.
– Nếu số nguyên tố p chia hết tích abc thì p chia hết ít nhất một thừa của tích abc:
$p\vdots abc\Rightarrow p\vdots a$ hoặc $p\vdots b$ hoặc $p\vdots c$
– Nếu số nguyên tố p không chia hết a và b thì p không chia hết tích ab.
3. Cách nhận biết một số là số nguyên tố
– Cách 1:
Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2;3;5;7…
Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố.
– Cách 2:
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
*Hệ quả: Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến $\sqrt{A}$ thì A là một nguyên tố.
4.Số các ước số và tổng các ước số của một số
Giả sử $A=p_{1}^{x_{1}}.p_{2}^{x_{2}}……p_{n}^{x_{n}}[/tex] trong đó [tex]p_{i}\in \mathbb{P};x_{i}\in \mathbb{N};i=\overline{1,n}$ thì:
- Số các ước số của A bằng $(x_{1}+1)(x_{2}+1)…..(x_{n}+1)$
- Tổng các ước số của A bằng $\frac{p_{1}^{x_{1}+1}-1}{p_{1}-1}.\frac{p_{2}^{x_{2}+1}-1}{p_{2}-1}…..\frac{p_{n}^{x_{n}+1}-1}{p_{n}-1}.$
5. Hai số nguyên tố cùng nhau
– Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
– Hai số tự nhiên liên tiếp thì luôn luôn nguyên tố cùng nhau.
– Hai số nguyên tố khác nhau thì luôn luôn nguyên tố cùng nhau.
– Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b,c) = 1.
– Nhiều số tự nhiên được gọi là nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau.
* Chú ý: 3 số nguyên tố sánh đôi thì chúng nguyên tố cùng nhau:
(a, b) = (b, c) = (c, a) = 1 $\Rightarrow $ (a, b, c) = 1
Đảo lại không đúng.
Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau thì chưa chắc chúng nguyên tố sánh đôi.
6. Một số định lý đặc biệt
– Định lý Dirichlet
Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x,a,b ∈N, a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
*Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn có vô số số nguyên tố dạng: 2x−1;3x−1;4x+3;6x+ 5;…—
– Định lý Tchebycheff-Betrand
Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n > 2).
– Định lý Vinogradow
Mọi số lẻ lớn hơn $3^{3}$ là tổng của 3 số nguyên tố.
II) Một số bài toán về số nguyên tố
Ví dụ 1: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau.
Suy ra a và b có ít nhất một ước số d > 1 ($a\vdots d;b\vdots d$)
$\Rightarrow (a+b)\vdots d\Leftrightarrow p\vdots d$
mà d>1 nên điều này vô lý, vì p là một số nguyên tố
$\Rightarrow $ (a, b) = 1.
============
Ví dụ 2: Cho $2^{m}-1$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng m là sô nguyên tố.
Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau.
Suy ra a và b có ít nhất một ước số d > 1 ($a\vdots d;b\vdots d$)
$\Rightarrow (a+b)\vdots d\Leftrightarrow p\vdots d$
mà d>1 nên điều này vô lý, vì p là một số nguyên tố
$\Rightarrow $ (a, b) = 1.
=============
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Chứng minh rằng: mọi ước nguyên tố của 1994!−1 đều lớn hơn 1994.
Bài 2: Cho m và $m^{2} + 2$ là hai số nguyên tố. Chứng minh rằng $m^{3} + 2$ cũng là một số nguyên tố.
Ví dụ 3: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b, c
Ta có: $abc=5(a+b+c)\Rightarrow 5\vdots abc$
Do vai trò của a, b và c bình đẳng. Giả sử $5\vdots a$ và a là số nguyên tố nên a = 5.
Suy ra: $bc = 5 + bc \Rightarrow (b – 1)(c – 1) = 6$
Vì b,c là các số nguyên tố nên (b-1) và (c-1) là các ước dương của 6
Ta có bảng sau
b-1 1 6 2 3
c-1 6 1 3 2
b 2 7 3 4
c 7 2 4 3
Kết luận t/m t/m loại loại
Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2, 5, 7.
==============
Ví dụ 4: Tìm tất cả các số nguyên tố p để: $2^{p}+p^{2}$ cũng là số nguyên tố.
Xét 3 trường hợp:
$p=2\Rightarrow 2^{p}+p^{2}=4+4=8\notin \mathbb{P}$
$p=3\Rightarrow 2^{p}+p^{2}=2^{3}+3^{2}=17\in \mathbb{P}$
$p>3\Rightarrow p$ không chia hết cho 3. Ta có $2^{p}+p^{2}=(p^{2}-1)+(2^{p}+1)$. Vì p lẻ $\Rightarrow 2^{p}+1\vdots 3$ và $p^{2}-1=(p-1)(p+1)\vdots 3\Rightarrow 2^{p}+p^{2}\notin \mathbb{P}$
Vậy p=3
===========
* Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm hai số nguyên tố p và q sao cho $p^{2}=8q+1$
Bài 2: Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố.
Ví dụ 5: Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p−1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Nếu $p=2 \Rightarrow 8p + 1 = 17 \in \mathbb{P};8p−1 = 15\notin \mathbb{P}$
Nếu $p=3 \Rightarrow 8p−1 = 23\in \mathbb{P};8p−1 = 25 \notin \mathbb{P}$
Nếu p > 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p−1;8p và 8p+1. Trong 3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số 8p + 1 và 8p−1 chia hết cho Vậy nếu $p\in \mathbb{P}$ và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p−1 là số nguyên tố thì số còn lại phải là hợp số.
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Nếu$p\geq 5$ và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số?
Để lại phản hồi